GPS／GLONASS組合定位的抗差Helmert方差分量估計模型＊

高 曉，戴吾蛟

（1.中南大學測繪與國土信息工程系，湖南 長沙410083；2.湖南省精密工程測量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測重點實驗室，湖南 長沙410083）

0 引 言

GNSS定位的數(shù)學模型包含函數(shù)模型與隨機模型，其中函數(shù)模型非常明確，且已得到廣泛的認可，但由于GNSS的誤差源較多，且通常與觀測環(huán)境、儀器設備等有關，隨機模型很難確定。GNSS隨機模型可以分為兩類：一類是根據(jù)反映觀測值質(zhì)量指標的高度角、信噪比等先驗隨機模型[1－3]；另一類是根據(jù)觀測值殘差進行驗后估計[4]。在單個GNSS系統(tǒng)的動態(tài)定位中，由于多余觀測較少，驗后估計法不準確，常用于多余觀測較多的靜態(tài)定位中。隨著GLONASS的復蘇，GPS／GLONASS組合定位的研究與應用得到了進一步深入與發(fā)展，有學者已開始利用方差分量估計的方法精化隨機模型[5－6]。已有研究表明，在 Helmert方差分量估計中引入抗差模型，建立抗差Helmert方差估計模型可以有效抵御粗差對方差估計的影響[7－9]，并成功應用于重力網(wǎng)平差計算、衛(wèi)星精密定軌等領域中。利用高度角及抗差Helmert方差分量估計方法建立GPS／GLONASS組合偽距動態(tài)定位的隨機模型，通過對IGS站（bjfs）2011年4月1日24h的觀測數(shù)據(jù)進行計算分析，以檢驗方法的有效性。

1 抗差Helmert方差分量估計模型

對于來自不同系統(tǒng)觀測值的組合定位，可以根據(jù)驗前估計權(quán)進行預平差，用平差后得到的觀測值改正數(shù)來估計不同系統(tǒng)觀測值的單位權(quán)方差，如此重復，直到不同系統(tǒng)觀測值的權(quán)趨于合理，這種平差方法稱為驗后方差分量估計。

2.1 Helmert方差分量估計模型

直接給出嚴密Helmert方差估計公式[9]：

2.2 基于IGGIII模型的抗差Helmert方差分量估計模型

Helmert方差分量估計可以較好地實現(xiàn)多類或多種精度觀測值一并平差時的定權(quán)問題，但是當觀測值包含粗差時，粗差產(chǎn)生的影響會轉(zhuǎn)移到隨機模型中，方差分量估計方法就會出現(xiàn)失真現(xiàn)象[9]。鑒于此，學者們提出了抗差模型，其實質(zhì)就是賦予粗差數(shù)據(jù)較小的權(quán)重，削弱或者杜絕粗差的影響，解算出干凈準確的數(shù)據(jù)。

設P為對角權(quán)陣，pj為第j項權(quán)值，則對應的抗差權(quán)重為：＝rjpj，式中，rj為自適應降權(quán)因子，與之對應的降權(quán)函數(shù)有IGGIII、Huber、Hampel等。采用IGGIII模型如下[10]：

式中，k1、k2為常數(shù)，參照文獻[10]，k1＝1.5～2.5，k2＝2.5～8.5.這里，k1與k2分別取值2.5與8.5.σ為方差因子，當?shù)€(wěn)定后，方差因子的取值可采用：

2.3 抗差Helmert方差分量估計算法流程

1）將觀測值按照不同類別分類進行驗前定權(quán)，即確定各類觀測值的初始權(quán)。按照高度角模型進行權(quán)陣的初始化：，其中a、b、σ的數(shù)值依據(jù)觀測值來源的不同按照經(jīng)驗值進行設定，e為觀測歷元高度角；

2）確定設計矩陣后按照經(jīng)典平差方法進行初次求解，求得V的初次估值；

3）取得殘差序列后按照式（1）計算各類觀測值方差因子的估值；

4）根據(jù)各類觀測值方差因子估值重新定權(quán)并按照式（3）構(gòu)建抗差權(quán)陣。式（3）的σ在迭代還未穩(wěn)定時取第三步所計算的各類觀測值的方差因子；

5）利用抗差權(quán)陣再次進行經(jīng)典平差計算，求得V的平差值。重復上述步驟直至迭代穩(wěn)定。若出現(xiàn)矩陣求逆0值溢出時（如高斯全主元消去法）時，適當放大方差因子；

6）待迭代穩(wěn)定后，式（3）中的σ通過式（4）確定，完成后續(xù)迭代工作，直到改正數(shù)小于指定數(shù)量級。

3 算例分析

3.1 實驗數(shù)據(jù)

實驗數(shù)據(jù)取自IGS站北京房山（bjfs）站2011年4月1日24h的觀測數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)文件包括GPS與GLONASS的混合觀測值，采樣間隔為30s，共計2 880個觀測歷元。2011年4月1日當天GPS衛(wèi)星與GLONASS衛(wèi)星的PDOP值如圖1所示。當天GPS衛(wèi)星與GLONASS衛(wèi)星分布較好（最大值為2.5，最小值為1.1，均值為1.5），各時段PDOP值均在標定值（4.0）限定范圍內(nèi)，各觀測時段沒有異常狀況發(fā)生。

圖1 GPS／GLONASS衛(wèi)星PDOP值分時統(tǒng)計圖

同時，對當天GPS／GLONASS衛(wèi)星數(shù)進行統(tǒng)計分析，衛(wèi)星數(shù)最少為10顆，最多為21顆，平均為15顆，完全可以滿足偽距單點定位對觀測數(shù)據(jù)的數(shù)量要求。

3.2 解算結(jié)果

實驗采用組合系統(tǒng)觀測數(shù)據(jù)與導航電文進行單歷元單點定位，將解算結(jié)果與ITRF2005參考框架下北京房山（bjfs）站的空間直角坐標進行對比，得到各歷元的的坐標向量差及其RMS值如表1所示，其中Y方向的坐標殘差序列如圖2所示。

表1 不同定權(quán)方案定位結(jié)果對比

圖2 Y坐標殘差序列圖

從表1和圖2的結(jié)果可以看出：與傳統(tǒng)的高度角模型對比，Helmert方差分量估計模型取得了較好的解算結(jié)果（Y 殘差上限為2.335 3，下限為－8.474 3，均值為－2.398 6，STD為2.128 6），單點定位的精度也得到了明顯提高。從Helmert方差分量估計模型衍生出來的抗差Helmert方差分量估計模型較單純的Helmert方差分量估計模型在整體的平差結(jié)果來看又有所進步，曲線更加平滑，定位精度得到提高，各歷元的RMS值也有所降低。

對于該IGS站的觀測數(shù)據(jù)，采用Helmert方差分量估計模型進行平差解算，求取每個歷元GLONSASS與GPS兩類觀測值的權(quán)比。2 880個歷元的權(quán)比的均值為0.232 0，由此可知，GLONASS系統(tǒng)的精度明顯偏低。但由于GLONASS采用頻分多址技術，可以較好地抵制多路徑效應的影響，在測量環(huán)境較差的測站可以發(fā)揮獨到的優(yōu)勢，而且組合定位時可以大大增加觀測值數(shù)據(jù)量，改善衛(wèi)星圖形分布強度，因此只要合理定權(quán)，組合定位可以提高定位的精度和可靠性。每個歷元的權(quán)比如圖3所示，從中可以看出，各歷元的GLONSASS與GPS兩類觀測值權(quán)比并不是固定不變，而且有時差異較大。因此，進行組合定位時，GLONSASS與GPS觀測值的權(quán)比取一個固定值是不合適的。

圖3 觀測值權(quán)比序列

高度角模型與Helmert方差分量估計最大的弱點就是無法抵御粗差觀測值的影響，而抗差Helmert方差分量估計模型的最顯著的優(yōu)勢就是具備良好的抗差性。為了體現(xiàn)這一特性，在原始數(shù)據(jù)隨機地選取了10個歷元的數(shù)據(jù)對GPS 2號衛(wèi)星的偽距觀測值添加＋50m的粗差，之后分別用三種隨機模型進行平差計算，對比分析各歷元數(shù)據(jù)計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)由于隨機模型的不同，添加粗差后數(shù)據(jù)解算結(jié)果與ITRF2005框架下bjfs站坐標值的差值有所差異，坐標殘差統(tǒng)計如表2所示，其中X、Y、Z方向的坐標殘差序列如圖4所示。

從表2和圖4可以看出：當觀測值中含有粗差時，高度角模型已無法保證定位的精度，單點定位結(jié)果存在較大的誤差。同樣，由于粗差的影響，Helmert方差分量估計模型同樣受到了影響，出現(xiàn)了方差因子估計失真的現(xiàn)象，單點定位的精度也受到了影響，而且有時還會出現(xiàn)負方差的現(xiàn)象。而抗差Helmert方差估計模型則顯示出較強的抵抗粗差的能力，即使觀測數(shù)據(jù)中出現(xiàn)粗差，單點定位結(jié)果的坐標殘差序列比較平滑，沒有較大的波動。但是加入粗差的10個歷元中，仍然有三個歷元的坐標殘差偏大。經(jīng)過對這三個歷元的殘差進行全面分析，發(fā)現(xiàn)其中有3顆GLONASS衛(wèi)星的觀測值存在較大的誤差（未加入粗差時，這三顆衛(wèi)星觀測值的殘差大于3m）。這是由于觀測數(shù)據(jù)的污染率較大，使得抗差效果降低了。

表2 添加粗差后的數(shù)據(jù)計算結(jié)果對比

圖4 添加粗差后坐標殘差序列（單位：米）

4 結(jié) 論

由于GNSS的誤差源較多，且GLONASS與GPS存在系統(tǒng)差異，難以根據(jù)先驗信息準確地確定GLONASS與GPS觀測值的隨機模型。采用Helmert方差分量估計方法可以根據(jù)實際觀測值的精度動態(tài)確定GLONASS與GPS觀測值的權(quán)比，但當觀測值存在粗差時，該方法會出現(xiàn)迭代不收斂、負方差或方差估計失真的問題。基于IGGIII模型的抗差Helmert方差分量估計方法不僅可以動態(tài)確定GLONASS與GPS觀測值的權(quán)比，而且可以有效抵御粗差的影響，同時由于自適應降權(quán)因子的作用，還可以根據(jù)平差后的殘差調(diào)整單個系統(tǒng)中的高度角隨機模型，使之更準確合理；但是，當觀測值出現(xiàn)多個粗差時，污染率偏高，抗差效果會有所降低。

[1]戴吾蛟，丁曉利，朱建軍.基于觀測值質(zhì)量指標的GPS觀測量隨機模型分析[J].武漢大學學報·信息科學版，2008，33（7）：718－721.

[2]GERDAN G P.A Comparision of four methods of weighting double－difference pseudo－range measurements[J].Trans.Tasman Surv，1995（1）：60－66.

[3]BRUNNER F K，HARTINGER K H，TROYER L.GPS signal diffraction modeling：the stochastic SIGMA－Δmodel[J].Journal of Geodesy，1997（73）：259－267.

[4]WANG J，SATIRAPOD C，RIZOS C.Stochastic assessment of GPS carrier phase measurements for precise static relative positioning [J].Journal of Geodesy，2002（76）：95－104.

[5]胡國榮，崔偉宏.組合GPS／GLONASS精密定位的觀測值隨機模型[J].遙感學報，2001，5（2）：95－99.

[6]段舉舉，沈云中.基于方差分量估計的GPS／GLONASS組合點定位[J]，測繪通報，2011（4）：4－6.

[7]康開軒，邢燦飛，李 輝，等，抗差 Helmert方差分量估計在重力網(wǎng)平差中的應用[J].大地測量與地球動力學，2008，28（5）：115－119.

[8]秦顯平，楊元喜.抗差分量估計在衛(wèi)星定軌中的應用[J].大地測量與地球動力學，2003，23（4）：40－43.

[9]劉長建，馬高峰.抗差Helmert方差分量估計及其應用[J].北京測繪，2002（1）：16－18.

[10]徐天河，楊元喜.VLBI、SLR、GPS綜合數(shù)據(jù)處理與坐標轉(zhuǎn)換若干問題研究[D].測繪工程，2002，11（4）：7－11.