運動場上的概率問題

☉浙江省杭州余杭第二高級中學 徐國鋒

隨著人們生活水平的不斷提高，體育運動正為越來越多的人所喜愛.體育運動的魅力在于力量、在于美、在于技巧、在于競爭精神，還在于懸念，而種種懸念的答案往往就隱藏在概率之中.運動場上的概率問題也成為各類考試中一類重要的問題.

一、抽簽分組概率

例1 已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支.求A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率.

（間接考慮）3支弱隊分在一組，共2C15種分組方法，因而，三支弱隊在同一組的概率為

評析：涉及到平均分組、標號問題要注意防“重”.在平均分組不標號（即無順序）時防“重”，即在分步依次分組后要除以所分組數的階乘.如例1中，8個隊不標號平均分為兩組，不同的分組數不是C48種；若平均分組標號則在分組的基礎上再乘以所分組數的階乘，如例1中，分為A、B兩組的方法數是種，不是種.

二、傳球概率

例2 甲、乙、丙三人做相互傳球練習，第一次甲傳給另外兩人中的一人，第二次由拿球者再傳給其他兩人中的一人，…，且拿球者傳給其他人種任何一人都是等可能的，求：

（1）第三次球傳回到甲的概率；

（2）若規定：最多傳五次球，且在傳球過程中，球傳回到甲手中即停止傳球；設ξ表示傳球停止時傳球的次數，求P（ξ=5）.

解：（1）畫出如下的樹狀圖，第三次傳遞時共8（中）種不同的傳遞方式，其中傳給甲的有2種，因而，第三次傳遞時甲得到球的概率為

再一種方法是按乘法原理考慮，分三步，最后球傳給甲.甲在傳球的過程中沒接到球，即甲→非甲→非甲→甲，共有方法2×1×1=2種，總的傳球方法為8種，即概率為

（2）注意在該問題中包含兩種情形：最后甲得到球和甲一直沒有得到球，其中，兩種事件的個數都是2，因而，事件總數為16，

評析：利用樹狀圖、列舉法等是解決這類計數或概率問題的基本方法，不過，該類問題當傳球人數或次數較多時，顯然不易使用.第二種方法需要對問題合理轉化，利用兩個原理轉化為純粹的數學問題加以解決.該問題顯然可以一般性的推廣：明顯在第n次傳遞時共有2n種不同的傳遞方式，其中在第2，3，4次傳遞時甲可以得到球的次數分別應為4-2，8-4，16-8，…，即22-2，23-（22-2），24-（23-（22-2））， 第n次傳遞時甲得到球的方式是2n減去第n-1次傳遞時球不在甲手中的情況，2n-2n-1+2n-2-…+（-1）n-12=再進一步推廣，我們可以得到，滿足例2條件的n個人傳球，第k次傳給甲的概率為

三、物品放置概率

例3 體育課后同學們把9個相同的足球隨機地放入編號為1、2、3的三個箱子里（假定每個箱子都可以放下所有的球），則每個箱子放球的個數不少于其編號的概率是多少？

解：9個足球隨機放入3個箱子中，共有39=19683種不同的方法，其中分別記1、2、3號箱子里的足球個數為x，y，z，則x+y+z=9，x≥1，y≥2，z≥3，轉化為求不定方程的解的個數，再進行轉化.令a=x，b=y-1，c=z-2，則a+b+c=6，a≥1，b≥1，c≥1，相當于把6個相同元素分成3份，每份不少于1個，用“插（擋）隔板”的方法即可，故所求概率為.不同的放法有22種.

評析：解題是智力競技，需要基本功，也需要一定的技巧，該題主要是轉化思想，把實際問題先轉化為純粹的數學問題：不定方程解，在數學范圍內構造變形，然后再轉變為實際問題模型，用“插隔板”的方法解決.

四、測試達標（命中）概率

例4 體育課進行籃球投籃達標測試，規定：每位同學有5次投籃機會，若投中3次則“達標”；為節省測試時間，同時規定：若投籃不到5次已達標，則停止投籃；若既使后面投籃全中，也不能達標（如前3次投中0次）則也停止投籃.同學甲投籃命中率為且每次投籃互不影響.

（1）求同學甲測試達標的概率.

（2）設測試中甲投籃次數記ξ，求ξ的分布列及期望Eξ.

解：（1）同學甲測試達標情況為，前三次都投中，前四次投中三次或者前四次中有兩次投中第五次再投中，所以所求概率

（2）ξ的取值為3，4，5.ξ=3包含前三次全中或者全沒有投中，，ξ=4包含第一次沒投中前三次投中兩次第四次再投中，或者前三次中有一次投中第四次沒投中，表示前四次中投中兩次第五次投中，或者前四次中投中兩次第五次沒投中

所以ξ的分布列：

ξ 3 4 5 P 9 2 7 10 27 8 2 7

評析：這類問題首先是分清楚隨機變量的實際意義，把隨機變量分解為基本事件的和事件，然后求出其相應的概率，特別是最后不能達標的情況，ξ=5時的情況是解這類問題的難點、易錯點，要考慮兩個互斥的事件，然后利用概率的加法公式確定這時的概率.

五、比賽場次概率

例5 甲、乙兩人進行某項對抗性游戲，采用“七局四勝”制，即先贏四局者為勝，若甲、乙兩人水平相當，且已知甲先贏了前兩局，求：（1）乙取勝的概率；（2）比賽進行完七局的概率；（3）記比賽局數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ.

ξ 4 5 6 7 P 1 4 1 4 1 4 1 4

評析：分類討論思想的正確運用是這類問題求解的根本，每一個問題都要根據實際情況分解成基本事件的和事件，在每一類問題中還可能需要把排列、組合方法與簡單枚舉方法結合起來.

六、賽場上金牌的概率

例6 2008年北京奧運會乒乓球比賽將產生男子單打、女子單打、男子團體、女子團體共四枚金牌，賽前保守估計，中國乒乓球男隊獲得每枚金牌的概率均為，中國乒乓球女隊獲得一枚金牌的概率均為

（1）求按此估計中國乒乓球女隊比中國乒乓球男隊多獲得一枚金牌的概率.

（2）記中國乒乓球隊獲得金牌的數為ξ，試求ξ的分布列和數學期望Eξ.

解：（1）設中國乒乓球男隊獲0枚金牌，女隊獲1枚金牌為事件A，中國乒乓球男隊獲1枚金牌，女隊獲2枚金牌為事件B，則：

ξ 0 1 2 3 4 P 1 400 7 200 73 400 21 50 9 2 5

評析：奪金牌的根本在于實力，解題正確的根本在于扎實的基礎、合理的策略和嚴密清晰地數學思想方法的運用.該問題突出分類討論思想的運用，和對事件關系、互斥事件、積事件和事件概率等概念的準確理解.