最值問題變中求新

☉江蘇省沭陽高級中學 王東陽

長期以來，高三的數學復習是做大量的習題，搞多次模擬訓練，學生邏輯思維能力和空間想象能力有一定的提高，但是分析問題和解決問題的能力提高甚少，結果是事倍功半，因此，如何激發學生的興趣，培養學生勇于探索的習慣和創新能力，提高復習效果，做到輕負擔、高質量，是十分重要的，所以需要研究復習方法，提高課堂效率，其中一題多變對培養學生的解題能力，提高學生的思維能力將大有益處.

變式1：函數f（x）=2x3-3x2-12x+5在區間［-2，3］上的最大值與最小值分別為（ ）.

A.12，-15 B.1，-4 C.12，4 D.5，-16

分析：求值域一般先求函數的最值.本變式與原題相比，解析式與自變量的取值區間都發生了變化.事實上，只要掌握了求函數最值問題的一般方法，不論自變量的取值區間、函數的解析式如何變化，解決問題的本質是一樣的.

解：先求導數，得f′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=2，當x變化時，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x -2 （-2，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3） 3 f′（x）+0-0+f（x）1↗12↘-15↗-4

從上表可知，當x=-1時，函數取得最大值12，當x=2時，函數取最小值-15，故選A.

點評：求解閉區間的最值問題的一般步驟是：先求得該區間的極值點，然后求得極值點的函數值與端點處的值比較就可以得到該區間的最值.

變式2：已知函數f（x）=ax3-6ax2+b在區間［-1，2］上的最大值為3，最小值為-29，求a、b的值.

分析：本題與變式1的區別是已知最值逆向求參數問題，體現了數學中的待定系數法，可以先求導，然后比較，確定取得最大值和最小值的x的值，再代入求得a、b的值，要注意對a進行討論.

解析：f′（x）=3ax2-12ax=3ax（x-4），在區間［-1，2］上，令f′（x）=0，根據題意a≠0.

當a>0時，函數f（x）在x＝0處取得極大值也就是最大值，比較f（-1），f（2）得：f（-1）>f（2），所以f（0）＝3，f（2）＝-29，解得a＝2，b＝3.

當a<0時，易知函數f（x）在x＝0處取得極小值，也就是最小值，且f（-1）

點評：本題從逆向思維的角度出發，根據題意逆向聯想，通過建立最值點確立相等關系，運用待定系數法求出a，b的值.

分析：不等式f（x）-m≥0恒成立，即m≤f（x）對任意實數x∈［-3，6］恒成立，所以m滿足m≤f（x）min，x∈［-3，6］即可.本題與變式1相比，難度有所加大，但只要分析出m≤f（x）min，x∈［-3，6］，問題便與變式1相差無幾.

解：令f′（x）=x2-4，解得x=2或x=-2.由于，所以f（x）在區間［-3，6］上的最小值為，即（fx）在區間［-3，6］上的最小值為，所以m的取值范圍為

點評：若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解.分離參數法有時能減少討論次數，甚至能避免討論.

綜上可得，實數m的值為4.

點評：本題從逆向思維的角度出發，根據題意逆向聯想，通過建立最值點確立相等關系，運用待定系數法求出m的值.由于函數的根的大小沒法確定，所以需要分類討論.

變式5：已知函數f（x）=-2x3-3x2+12x+1在［m，1］上的最小值為-17，則m的值為_________.

分析：本題與上題最大區別是閉區間一端含有參數，首先需要求導數，然后比較最小值與極小值，從而確定參數m的范圍，再利用方程思想求得m的值.

解析：因為f′（x）=-6x2-6x+12=-6（x+2）（x-1），令f′（x）=0，得x1=-2，x2=1，所以f（x）在（-∞，-2）上為減函數，在［-2，1］上為增函數，所以f（-2）為極小值，又因為f（-2）=-19，但在［m，1］上，f（x）min=-17，因為-2

點評：解決本題的關鍵是求出導函數的單調區間，明確函數的極值點，與函數的最值比較，確定m的范圍，結合函數的最小值求得m的值.注意對m的值進行恰當的取舍.

綜上，高三復習不是在同一水平上的簡單重復，需要創造性地將知識、能力和思想方法在更多的新情境下、更高的層次中不斷地、反復地滲透，才能達到螺旋式再認識、再深化乃至升華的結果.