例析數形結合的思想方法在解高考題中的運用

☉江蘇省泰州市二中附中 曹文喜

我國數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”數形結合是一種數學思想方法，在解題中要根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，靈活地運用數形結合的思想方法，能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.運用數形結合的方法解題，歷來一直是高考考查的重點之一.舉例如下：

一、利用數形結合研究集合問題

【解 析】M=（{x，y）|x2+y2=9，0

【注】集合轉化為點集（即曲線），而用幾何方法進行研究.此題也屬探索性問題用數形結合法解，其中還體現了主元思想、方程思想，并體現了對有公共點問題的恰當處理方法.

二、利用數形結合求最值

【解析】等式（x-2）2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為（2，0），半徑則表示圓上的點（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率.如此以來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖2可見，當∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最大值為

圖2

【注】通過轉化將此類問題變成求斜率最大值的問題是常見的也是最簡捷的方法.

三、利用數形結合求線段的長

圖3

【解析】設橢圓另一焦點為F2，如圖3，則|MF1|+|MF2|=2a，而a=5，|MF1|=2，故|MF2|=8.又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點，則ON是△MF1F2的中位線， 故

【注】若聯想到第二定義，可以確定點M的坐標，進而求MF1中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，顯得有些復雜.

四、利用數形結合探究參數范圍

例4 若方程lg（-x+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內有唯一解，求實數m的取值范圍.

【解析】將對數方程進行等價變形，轉化為一元二次方程在某個范圍內有實解的問題，再利用二次函數的圖像進行解決，原方程變形為

圖4

設曲線y=（x-2）2，x∈（0，3）和直線y=1-m圖像如圖4所示.由圖可知：

①當1-m=0時，有唯一解，m=1；

②當1≤1-m<4時，有唯一解，即-3

故 m=1或-3

【注】此題也可設出曲線y=-（x-2）2+1，x∈（0，3）和直線y=m后畫出圖像求解.

五、利用數形結合解答復數問題

圖5

【解析】由于|z-2-2i|=|z-（2+2i）|，有明顯的幾何意義，它表示復數z對應的點到復數2+2i對應的點之間的距離，因此滿足的復數z對應點Z，在以（2，2）為圓心，半徑為的圓上（如圖5），而|z|表示復數z對應的點Z到原點O的距離，顯然，當點Z、圓心C、點O三點共線時，|z|取得最值，故|z|的取值范圍為

【注】本題運用“數形結合法”，把共軛復數的性質與復平面上的向量表示、代數運算的幾何意義等都表達得淋漓盡致，體現了數形結合的生動活潑.一般地，復數問題可以利用復數的幾何意義而將問題變成幾何問題，也可利用復數的代數形式、三角形式、復數性質求解.

數形結合的思想方法應用廣泛，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.平時教學時要注意培養學生的這種思想意識，做到胸中有圖，見數想圖，從而開拓學生的思維視野.