重視數列解題教學培養學生解題能力

☉江蘇省新沂市高級中學 丁金華

數列是高中數學的重點及難點，由于在測試學生邏輯思維能力和理性思維水平以及在考查學生創新意識及創新能力方面有不可替代的作用，2008年及以后的歷年考試說明中無一例外地將等差數列、等比數列列為C級考點要求.在高考中對數列的基本方法，基本技能的考察常常與函數、方程、不等式等其它知識綜合，考查學生在數學學習和數學研究中知識的遷移、組合、融匯等能力，近而考查學生的學習潛能和數學素養，為學生展現其創新意識及發揮創造能力提供了廣闊的空間.

一個專心認真備課的教師要能夠拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，通過這道題，就像給學生打開一扇大門，把學生引入另一個完整的領域.鑒于以上的原因，非常有必要對數列的解題教學進行簡要的分析與總結.本文從幾個具體實例出發，就數列單元解題教學中要注意的幾點問題進行了簡單的梳理.

一、樹立函數觀念

雖然教材（即使是傳統教材）明確點明，數列可以看成以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，但從長期的教學實踐看，相當多的學生在解數列題時并沒有多少函數觀念，“數列是函數”似乎成了一句可有可無的點綴，這對提升解決數列問題的能力是一個莫大的損失.實際上，很多數學命題的出發點和著手點針對的就是數列是函數，函數在處理數列問題中經常建立奇功.所以，數列的解題教學一定要堅持樹立函數觀念.

例1 已知兩等差數列{an}、{bn}的前n項和分別是An，Bn，且，則使an為整數的正整數n的個數是（ ）.bn

A.2 B.3 C.4 D.5

顯然n取1、2、3、5、11時，滿足題意.應選D.

當然本題還可以使用中項公式法，此處就不再詳述.

二、融入數學模式

在數列的訓練題中，時刻關注引導學生據a1，d（q），n，an，sn幾個量之間進行知三求一或知三求二訓練，隨著學習的深入，我們應該越來越重視數學的模式化，由具體習題歸納出數學規律，重視學生從實際解題中抽象出數學模型的能力.在解題訓練中融入數學模式的內容：知三求二是數列最為重要題型，處理時要使用方程或方程組，解題時要堅決，要自信.

例2 設無窮等差數列{an}的前n項和為sn.

（2）求所有的無窮等差數列{an}，使得對一切正整數k都有成立.

若a1=0，d=6，則an=6n-6.由s3=18，（s3）2=324，s9=216，知s9≠（s3）2，故所得數列不符合題意.

當a1=1時，代入②，得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2.

若a1=1，d=0，則an=1，sn=n，從而sk2=（sk）2成立；

若a1=1，d=2，則an=2n-1，sn=1+2+3+…+（2n+1）=n2，從而sk2=（sk）2成立.

綜上，有三個滿足條件的無窮等差數列，an=0，an=1，an=2n-1.

三、重視思維轉換

特殊化、一般化、具體化、抽象化都是數列中常用的思維方式，對于比較抽象的數列問題要善于從特例入手，進行個別試驗，然后對試驗的結果進行分析、歸納、抽象、概括、作出猜想，再證明其正確性，即從特殊到一般.對于有些數列問題（比如數列應用題），如從特例入手，問題求解反而復雜，這時從一般入手（如尋求遞推關系或構造輔助數列）反而能使問題得到簡潔解法.因此，從“特殊到一般”、“從一般到特殊”甚至從“一般到一般”的轉換，構成數列解題的一大特色，解題教學要重視思維過程的轉換.

如上例題雖然不難，但“一般——特殊——一般”的轉換手法，恰恰是初學者所不習慣的，但又是學好數列所必備的，需要教師在解題教學中強化引導.

四、促進學生生成

引導學生參與公式、定理、解題方法的發現過程，并對發現過程進行反思，對培養學生的解題能力有著十分重要的意義，在數列解題教學過程中，對重要的解題方法和重要的解題結論的形成要有足夠的耐心，充分做好預設，促進學生自己生成.

例4 已知等比數列{an}第一項為a1，公比為q，求它的前n項和sn（即為推導等比數列前n項和公式）.

在處理本題時，多數同行的教學設計為類比等差數列求和公式的倒序相加法，給出本題的錯位相減法，并給出過程和結論.實際上，不要低估學生的探索能力，更不要急于完成課堂任務.把問題交給學生，付出足夠耐心和等待，教師將收獲足夠驚喜，學生會收獲足夠方法.

以下是學生經分組討論，探究出的本題的三種解法的過程：

經歷此番的探索和數學經歷過程，同學們對等比數列前n項和公式的理解更為深入，以后對公式的應用一定會更加熟練.促進學生自主學習、合作學習、探究學習是新課改對每一位數學老師提出的新要求，作好充分的預設，促進學生自主生成，教師給之以舞臺，學生報之以驚喜.