由一道高考題想到的

☉湖北省武漢市江夏實(shí)驗(yàn)高中 徐 斌

2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）第16題是這樣的：設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是_______.

這是一道典型的最值問題，最值問題是湖北省歷年高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，值得我們認(rèn)真研究.下面筆者運(yùn)用不同的知識(shí)和思想方法，從多個(gè)角度和讀者共同探討一下它的一些解法.

我們先來看看這種題考生的常用解法：

由4x2+y2+xy=1得（2x+y）2-3xy=1.

解法2：不等式法.利用重要不等式a2+b2≥2ab.

由條件得1=4x2+y2+xy≥4xy+xy，即

又由4x2+y2+xy=1可得（

解法3：換元法、判別式法、方程思想.

令2x+y=t，則y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1中得：

4x2+（t-2x）2+x（t-2x）=1，即6x2-3tx+t2-1=0.

因關(guān)于x的方程有實(shí)根，則Δ=（-3t）2-4×6（t2-1）≥0.

解法4：換元法、判別式法.

由條件得（2x+y）2=1+3xy.

那么除了這四種解法，我們還有什么思路呢？我們可以把條件通過代換或者構(gòu)造，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題去解，于是又有以下三種解法.

解法5：代換法、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

令2x=a+b，y=a-b，則2x+y=2a.

有了上面巧妙的變換技巧，我們也可以不用代換，而用直接配方去做.

解法6：配方法.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貫穿兩條主線，即數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法.通性通法蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，更貼近學(xué)生的思想認(rèn)識(shí)水平，符合常人的思維習(xí)慣，同樣也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.那么上述解法哪些是通法呢？

【變式】設(shè)x、y∈R，若4x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是_______.

顯然，這個(gè)變式題可以用解法3來解.

令x+y=t，則y=t-x，將其代入條件得4x2-tx+t2-1=0.

同樣地，構(gòu)造向量法也是處理這類最值題的“通法”.總之，長期的教學(xué)實(shí)踐使我體會(huì)到：一題多解是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的一種行之有效的方法.對(duì)典型問題多角度追蹤，探討其解題規(guī)律、思想方法，有利于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法融會(huì)貫通，有利于學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力，有利于學(xué)生明確知識(shí)間的聯(lián)系，更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文旨在拋磚引玉，以引起廣大教師對(duì)“一題多解”教學(xué)的重視.