轉換化歸思想應用的幾點思考

☉江蘇省海安高級中學 徐衛華

轉化與化歸思想是高中數學中重要的數學思想方法之一，學生轉化與化歸能力的高低，決定了解題能力的高低，因此對轉化與化歸能力的培養顯得尤為重要.下面就其轉化的基本方向，舉例說明.

一、化生為熟

分析：根據新定義，知要確定函數f（x）的解析式，需要比較cos2x+sinx與的大小關系，即需要求cos2x+sinx的取值范圍，另外，還要注意自變量的取值范圍，再確定）的解析式，從而求出函數的最大值.

解決新定義問題，首先要把定義讀懂理解透，把陌生的新內容轉化為熟悉的已知的內容，在此基礎上進一步研究熟悉的問題，在這里特別要注意在

二、化零為整

圖1

分析：采用補形法，把題目中的“棱長”放置到長方體中，再利用“棱長”在長方體各個側面的投影來畫幾何體的三視圖，可以讓整個解題過程變得很直觀、很容易，從而避開了空間想象的抽象.

解：如圖1，把幾何體放到長方體

中，使得（正）長方體的對角線剛好為幾何體的已知棱，設（正）長方體的對角線，則它的正視圖投影長為側視圖投影長為A1D=a，俯視圖投影長為4，所以選C.

三、正難則反

（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2）證明：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列.

分析：要證明結論“任意三項不可能成等差數列”會覺得較難于證明，而結論的反面“數列{bn}中存在三項成等差數列”更加容易切入，因此可以考慮采用反證法，從結論的反面出發，通過否定假設，來證明原命題.

（2）假設數列{bn}存在br，bs，bt（rbs>bt，所以2bs=br+bt，所以

化簡得2·2s-r·3t-s=3t-r+2t-r，由于r

四、反客為主

例4 已知關于x的方程：x3-ax2-2ax+a2-1=0有且僅有一個實根，求實數a的取值范圍.

分析：顯然，題目中的x是主元，a為輔元，但方程中x的最高次數為3，求根比較困難，注意到a的最高次數為2，故可視a為主元，原方程轉化為關于a的二次方程.

解：原方程可代為a2-（x2+2x）a+x3-1=0，解得a=x-1或a=x2+x+1，即x=a+1或x2+x+1-a=0，因原方程有唯一實根，則x2+x+1-a=0無實根，Δ<0，即

主元與輔元是人為的相對的，可以相互切換，當確定了某一元素為主元時，則其他元素是輔元.

五、化抽象為直觀

例5若定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說法一定正確的是（）.

A.f（x）為奇函數B.f（x）為偶函數

C.f（x）+1為奇函數D.f（x）+1為偶函數

分析：判斷函數的奇偶性需要用定義，即找f（x）與f（-x）之間的關系，由于x+（-x）=0所以需要先求出f（0）的值，這時需要取特殊值x1=x2=0解答.

解法1：令x1=x2=0，得f（0）=-1.令x1=x，x2=-x得f（x）+f（-x）=-2.

則f（-x）+1=-［f（x）+1］，f（x）+1為奇函數，故選C.

解法2：取特殊函數f（x）=x-1，滿足題設，此時t（x）=f（x）+1=x是奇函數，故選C.

化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程，請同學們在學習中不斷地歸納總結，以進一步提高自身解題能力.