聯想函數模型速解抽象函數

☉江蘇省泗洪中學 李 波

抽象函數沒有給出具體的函數解析式，但其既能考查函數的概念和性質，又能考查學生的思維能力.因其形式抽象，解題中學生常感無從下手，如果將一些抽象問題構造為了常見函數的模型，使抽象問題具體化，仿照模型解題，會迅速找到解題思路.下面就幾種常用的變化舉例說明，供參考.

一、聯想正比例函數模型

若函數y=f（x）是R上的單調函數，且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）或f（x-y）=f（x）-f（y），則函數y=f（x）的解析式可設為f（x）=kx（k≠0）.

例1已知函數y=f（x）對任意的x、y實數，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0.試比較f（1）與f（2）的大小.

解析：因函數y=f（x）對任意的實數x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），則函數y=f（x）的解析式可設為f（x）=kx（k≠0）.

又當x＞0時，f（x）＜0，則k＜0，可得函數y=f（x）在R上是減函數.

故f（1）＞f（2）.

二、聯想反比例函數f（x）=模型

三、聯想指數函數模型

若函數y=f（x）是R上的單調函數，且滿足f（x+y）=f（x）·f（y）或f（x-y）=f（x）÷f（y），則函數y=f（x）的解析式可設為f（x）=ax（a>0，且a≠1）.

例3已知函數f（x）對于一切實數x、y滿足f（0）≠0，f（x+y）=f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1.

（1）當x＞0時，求f（x）的取值范圍；

（2）判斷f（x）在R上的單調性.

聯想：由f（x+y）=f（x）f（y）聯想“模型函數”y=ax（a＞0，a≠1），當a＞1時為單調增函數，且x＞0時，y＞1，x＜0時，0＜y＜1；0＜a＜1時為單調減函數，且x＜0時，y＞1，x＞0時，0＜y＜1，從而猜測：f（x）為減函數，且當x＞0時，0＜f（x）＜1.

解析：（1）由題意知對一切x，y∈R，f（x+y）=f（x）f（y），且f（0）≠0.

令x=y=0，則f（0）=1，現設x＞0，則-x＜0，f（-x）＞1.

四、聯想對數函數模型

若函數y=f（x）是（0，+∞）上的單調函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y）或f（x/y）=f（x）-f（y），則函數y=f（x）的解析式可設為f（x）=logax（a>0，且a≠1）.

例4已知函數y=f（x）是定義在正實數集上的增函數，且滿足下列條件：

（1）f（xy）=f（x）+f（y），（2）f（2）=1.

如果有f（x）+f（x-3）≤2，求滿足不等式的x的取值范圍.

解析：因函數y=f（x）在正實數集上是增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），則函數y=f（x）的解析式可設為f（x）=logax（a>0，且a≠1）.

又f（2）=1，則a=2，從而函數y=f（x）的解析式為f（x）=log2x.

不等式f（x）+f（x-3）≤2可轉化為log2x+log2（x-3）≤2.

即等價于下列不等式組：

解不等式組得3＜x≤4.

故不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為{x|3＜x≤4}.

五、聯想三角函數模型

例5函數f（x）定義域為全體實數，對任意實數a、b，有f（a+b）+（fa-b）=2（fa）·（fb），且存在C＞0，使得，求證（fx）是周期函數.

聯想：因為cos（a+b）+cos（a-b）=2cosacosb，且因而得出它的模型函數為y=cosx，由y=cosx的周期為2π，可猜想2C為f（x）的一個周期.

分析：要在證明2C為f（x）的一個周期，則只需證f（x+2C）=（fx），而由已知條件和（fa+b）+（fa-b）=2（fa）·（fb）知，必須選擇好a、b的值，是得條件等式出現

則f（x+2C）=f［（x+C）+C］=-f（x+C）=f（x），即f（x）是以2C為周期的函數.

綜上，聯想構造不僅使我們加深對知識的理解及靈活運用，而且能夠培養我們的思維品質，提高解題能力.因此，在日常學習中在以教材為基礎的前提下，加強對變式研究，以促解題能力的進一步提高.