分類加法計數原理與分步乘法計數原理（教學設計）

☉浙江省寧波市第四中學 邵春霞

一、教材分析

1.教材的地位與作用.

本節課教學內容是《分類加法計數原理與分步乘法計數原理》，是人教A版數學選修2-3第一章第一節內容.這兩個原理是本章的重點基礎知識，一方面它為后面學習排列、組合、隨機變量的概率等內容提供了思想和理論依據，是學習排列組合e的基礎；另一方面它的結論與其基本思想方法在解決本章應用問題時有許多直接應用，因此，它理應成為我們重點把握的教學內容.新舊教材最大區別在于：舊教材是先學習兩個計數原理后學習概率，體現由理論到應用的過程；而新教材是在學習了古典概型的基礎上提出了本節內容，體現了由實踐到理論、再到實踐的過程，學生在具備一定的計數能力（樹形圖、列舉法等）和實例的前提下，能更好更快地體會兩個基本原理的作用與適用范圍，在實踐中能更靈活地運用兩個基本原理來解決問題，這樣的設計能為學習構建牢固的知識框架打下基礎.

2.教學重點與難點.

教學重點：對兩個計數原理的認識與理解，并能解答簡單的應用問題.

教學難點：準確區分加法原理與乘法原理.

二、教學目標

1.知識與技能.

（1）通過實例，總結出分類加法計數原理和分步乘法計數原理；

（2）能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題.

2.過程與方法.

（1）經歷提煉兩個原理的過程，體會兩個計數原理的意義；

（2）在尋找身邊“分類”、“分步”計數問題的過程中體會兩個原理的區別和聯系；

（3）在解決實際問題的過程中，進一步體會將問題進行“分類”思考和“分步”思考的數學方法.

3.情感、態度與價值觀.

（1）體會數學源于生活又服務生活；

（2）培養學生的歸納概括和自主學習能力；

（3）通過合作探究，培養學生勤于思考、勇于探索的精神.

三、教法分析

問題探究式教學.

四、學法指導

觀察分析，分類討論，比較歸納.

五、過程設計

1.創設問題情境，激發學習興趣，導入課題.

背景資料1：如今寧波汽車保有量突破100萬輛，駕駛證突破200萬本.以760萬常住人口計算，平均每4人，就擁有1本機動車駕駛證，平均每3戶家庭，就有1輛汽車.按照國際通行說法，100萬輛以上的汽車保有量，是一個城市進入“汽車社會”的標志.（2011-09-0810：37：38來源：新藍網）

背景資料2：如果寧波市汽車牌照形式為“浙B-□□□□■”，其中“浙B”為地區代碼，■為大寫英文字母D，E，□為0～9阿拉伯數字.

請想一想：按此方式編排，最多有多少個不同的牌照？

【設計意圖】要回答這個問題，就要用到排列、組合的知識.在運用排列、組合方法時，經常要用到分類加法計數原理與分步乘法計數原理.

2.從實例抽象出分類、分步加法計數原理.

問題1：中國智能交通協會專家從北京到寧波進行學術交流，已知從北京到寧波，可以乘火車，也可以乘飛機.一天中，直達火車有5班，直達飛機有10班.那么一天中，乘坐這些交通工具從北京到寧波共有多少種不同的走法？

【設計意圖】配圖分析，引導學生得出坐火車與坐飛機兩類辦法均可，每類任一種辦法都可以獨立把從北京到寧波這件事情辦好.

變式1：若從北京到寧波一天中還有2班汽車可乘，那么一天中乘坐這些交通工具從北京到寧波，共有多少種不同的走法？

變式2：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，每一類中的每一種方法均可完成這件事，那么，完成這件事共有多少種不同的方法？

【設計意圖】學生解答以上問題水到渠成，順著變式2的解，不難由學生歸納出分類加法計數原理.

問題2：中國智能交通協會專家先乘飛機從北京到杭州，再于次日從杭州乘汽車到寧波.一天中，汽車有6班，飛機有10班，那么兩天中，從北京到寧波共有多少種不同的走法？

【設計意圖】配上插圖，引導學生分析，組織討論，引導學生模仿分類加法計數原理歸納得出分步乘法計數原理.

3.引導學生對兩個原理加以應用.

例1 書架的第一層放有4本不同的計算機書，第二層放有3本不同的文藝書，第三層放有2本不同的體育書.

（1）從書架上任意取1本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架的第一第二第三層各取1本書，有多少種不同的取法？

（3）從書架上任取2本不同學科的書，有多少種不同的取法？

【設計意圖】這是一道用于鞏固兩個原理的例題，通過引導學生分析解答，使學生理解兩個原理的區別.同時讓學生總結得到：若“要完成的事”滿足“類類獨立”，用任何一類中的任何一種方法都能獨立完成這件事情，則是一個分類問題；若“要完成的事”滿足“步步相依”，只有依次完成每一個步驟才能完成這件事情，則是一個分步問題.

例2 用A，B和1—9九個阿拉伯數字以A1，A2，…，B1，B2，…的方式給教室椅子編號，能編出多少不同的號碼？

【設計意圖】讓學生在解答過程中初步感知這些計數問題并不完全相同，介紹“樹形圖”是解決計數問題的的常用方法

例3 如果寧波市汽車牌照形式為“浙B-□□□□■”其中“浙B”為地區代碼，■為大寫英文字母D，E，□為0～9阿拉伯數字.按此方式編排，最多有多少個不同的牌照？

【設計意圖】通過此例讓學生體會到數學源于生活又服務生活，同時讓學生明白解決數學問題的基本方法：從實際問題中提煉出數學概念，再用數學概念解決實際問題.

4.構建知識系統，掌握方法，強化能力.

（1）知識小結，學生回答后教師總結.

一個中心：計數問題.

兩個基本原理：分類加法計數原理和分步乘法計數原理.

三個關鍵點：分析“完成怎樣一件事”；區分“分類”或“分步”，“分類”滿足“類類獨立”，“分步”滿足“步步相依”；注意分類標準要求“不重不漏”，分步標準要求“步驟完整”.

（2）運用數學思想方法，獲取數學知識過程的小結.

兩個基本原理體現了解決問題時將其分解的兩種常用思想方法——分類解決或分步解決.

解決數學問題的基本方法：實際問題?數學概念?實際問題.

類比、發現、歸納、探索前進是創造的基本途徑.

5.布置作業.用生活中的例子編寫計數問題.

要求：

編一個題目；

涉及兩個原理其中一個的計數問題；

把討論結果寫在紙上.