習(xí)題寓意深厚 解法奇妙精彩——一道習(xí)題教學(xué)片斷引發(fā)教學(xué)取向的思考

☉甘肅天水市第一中學(xué) 宮前長

一、提出問題

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5》（人教A版）第二章“數(shù)列”，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.入門課就是“數(shù)列的概念與簡單表示法”，需要2個(gè)課時(shí)，上完此節(jié)的入門課后進(jìn)行例題、習(xí)題處理，學(xué)生對教材第34頁B組第一題產(chǎn)生獨(dú)到的見解和深層次的理解，令我深刻地反思以后的教學(xué)該如何進(jìn)行.

題目：下圖（如圖1所示）中的三個(gè)正方形塊中，著色正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng).請寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)公式.

圖1

二、展示題目亮點(diǎn)

1.立意新穎.

教材中數(shù)列的引入總是采用圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行的，即首先通過三角形數(shù)、正方形數(shù)的實(shí)例引入數(shù)列的概念，然后將數(shù)列作為一種特殊函數(shù)，構(gòu)思精巧，立意新穎，包含著豐富的數(shù)學(xué)思想，這類問題有利于學(xué)生的觀察問題和分析問題的能力以及創(chuàng)新能力的提高，有利于開發(fā)學(xué)生的智力.要更好地解決此類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)入手點(diǎn).

2.凸顯對學(xué)生自主探究能力的提升.

此題是數(shù)列第一節(jié)《數(shù)列的概念與簡單表示法》習(xí)題B組第一題，實(shí)質(zhì)是創(chuàng)設(shè)一個(gè)數(shù)列情境，同時(shí)著重考查學(xué)生歸納猜想、合情推理的意識(shí).歸納推理作為合情推理的一種常用思維方法蘊(yùn)涵在高中數(shù)學(xué)教材中的每個(gè)地方，它是發(fā)現(xiàn)和獲取知識(shí)結(jié)論的重要方法，更是解決探究問題的有力工具.此題是由特殊到一般的歸納推理，通過觀察、分析、抽象和概況發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

3.強(qiáng)化直覺思維.

觀察圖形是直覺思維能力得到提高的重要訓(xùn)練方式.此題表征是對正方形個(gè)數(shù)，深層是對思維能力的考查，讓學(xué)生從不同的角度切入，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，給學(xué)生提供了充分展示自己才華與能力的空間.同時(shí)，教學(xué)取向的重點(diǎn)放在探究與思辨能力的升上.

三、課前思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是孤立的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既要與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系，又要加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的聯(lián)系.在通過實(shí)際問題引入數(shù)列概念后，教材對數(shù)列的函數(shù)背景進(jìn)行了分析，指出通項(xiàng)公式實(shí)際可看做是數(shù)列的函數(shù)解析式.

在課堂上盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等發(fā)現(xiàn)和探索的過程，鼓勵(lì)學(xué)生說出各種可能的設(shè)想和猜測.

1.題目考查目標(biāo).

此題的考查目標(biāo)是觀察圖形特征，給出數(shù)列的通項(xiàng)公式.查閱與教材配套的教學(xué)參考對此題提出：要注意引導(dǎo)學(xué)生對圖形表示數(shù)字規(guī)律的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)，要培養(yǎng)從整體上去認(rèn)識(shí)圖形規(guī)律的意識(shí)和能力.

2.解題思路分析.

思路1：觀察圖形特征，第一個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)是第一個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)的8倍加1，第三個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)是第二個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)的8倍加1，依次類推，可以得出第n個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)的遞推公式，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

思路2：觀察圖形特征，第一個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)是第一個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)加8，第三個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)是第二個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)加82，依次類推，可以得出第n個(gè)正方形塊中著色正方形的個(gè)數(shù)的遞推公式，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

3.學(xué)情分析.

學(xué)生剛學(xué)習(xí)了數(shù)列（入門課），能否將此題解決？對通項(xiàng)公式、遞推公式的理解處于剛認(rèn)識(shí)的階段（沒有更多的數(shù)列知識(shí)儲(chǔ)備），但學(xué)生對圖形的直覺感受卻是有基礎(chǔ)的（函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí)和理解），解決問題是有希望的.

四、教學(xué)片斷回放

師：大家看看教材第34頁B組第一題：下圖中的三個(gè)正方形塊中，著色正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng).請寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)公式.（通過實(shí)例引入數(shù)列概念時(shí)，舉例較多，學(xué)生對此題的認(rèn)識(shí)和解答很好）

巡視時(shí)激勵(lì)、點(diǎn)撥學(xué)生從圖形的結(jié)構(gòu)、放置方式、正方形的大小與個(gè)數(shù)等多方位進(jìn)行觀察、聯(lián)想，尋找蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)規(guī)律.

生甲：（學(xué)生自己積極舉手）老師，觀察前三個(gè)圖形，容易得到它們的正方形數(shù)目分別是1，9，73.

師：生甲你是如何快速算出第三個(gè)圖形中的正方形數(shù)？

生甲：我是將第三個(gè)圖形提出分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進(jìn)行計(jì)算：將其中的最大的一個(gè)正方形拔到最高處屬于第一層（塔頂）；再將周圍較大的八個(gè)正方形拔到較高位置屬于第二層；再將周圍較大的每個(gè)正方形周圍的最小的八個(gè)正方形拔到較高位置屬于第三層（塔底）.這樣就會(huì)得到a3=1+8+82=73（個(gè)）

師：生甲的思路和方法太精妙了！那么第四個(gè)、第五個(gè)圖形中的正方形數(shù)是多少？

生甲：a4=1+8+82+83（個(gè)）；a5=1+8+82+83+84（個(gè)）.（教室頓時(shí)響起掌聲！）接著高興地說了數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=1+8+82+83+…+8n-1（個(gè)）.

師：學(xué)生甲的想法很好，能將二維平面圖形“升維”到三維空間圖形進(jìn)行觀察，可謂思維敏捷，奇思妙想，以后大家要向生甲學(xué)習(xí).那么大家思考a4、a5的值具體是多少？an的值又是多少？

隨意的一問，像一塊小石子投進(jìn)了平靜的水中，許多學(xué)生提出采用冪和計(jì)算可以知道.但計(jì)算過程太繁，步驟太多，容易出錯(cuò)，大家覺得不是好方法，自然an就無法進(jìn)行冪和運(yùn)算得到答案.

大家正在犯愁時(shí)，有位女生大聲喊起來：“我找到方法了！”

生乙：我觀察同學(xué)甲歸納出的通項(xiàng)公式，有新的發(fā)現(xiàn)，第三個(gè)圖形中的正方形總數(shù)的式子可以改寫為a3=82+8+1=111（8）=73（個(gè)），從而依次就有a4=83+82+8+1（個(gè)）=1111（8），a5=84+83+82+8+1（個(gè)）=11111（8），這樣做就能依據(jù)同學(xué)甲歸納出的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，借助進(jìn)位制的思想將通項(xiàng)公式具體地表示出來，即an=111…11（8），其中有n個(gè)“1”.

師：能告訴大家你是如何聯(lián)想到進(jìn)位制的記數(shù)方法？

生乙：看到同學(xué)甲的表述a4=1+8+82+83（個(gè)）；a5=1+8+82+83+84（個(gè)），我就想到進(jìn)位制的知識(shí)，與將二進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的數(shù)的計(jì)算形式一致，于是類比到這個(gè)數(shù)的表示上，得到a3=82+8+1=111（8），a4=83+82+8+1（個(gè)）=1111（8），就是這樣想出的.

話音一落，教室掌聲一片！

師：多么簡潔、簡單的表示，這正是數(shù)學(xué)追求的形式美.女同學(xué)就是細(xì)心，將前面學(xué)過的算法的二進(jìn)制計(jì)數(shù)知識(shí)記得很清楚，又能靈活應(yīng)用，可喜可賀！

正當(dāng)大家處于學(xué)生甲、乙的精彩回答的興奮中，一位平時(shí)靦腆又性格孤獨(dú)的男生站起來！（教師用眼神示意他發(fā)表自己的看法）

生丙：我也從同學(xué)甲歸納出的通項(xiàng)公式，有新的發(fā)現(xiàn)，第三個(gè)圖形中的正方形總數(shù)的式子可以改寫為a3=1+8+82=a2+82=73（個(gè)），從而依次就有a4=83+a3（個(gè)），a5=84+a4（個(gè)），這樣做就能依據(jù)同學(xué)甲歸納出的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，借助相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系將遞推公式具體地表示出來，即an=an-1+8n-1（個(gè)）.

師：學(xué)生丙能積極發(fā)表自己的看法就是進(jìn)步，敘述的過程已經(jīng)揭示了遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式之間的一種轉(zhuǎn)換方法，提出表揚(yáng)！只要大家認(rèn)真觀察、多總結(jié)，就能從不同的角度獲得不同的認(rèn)識(shí).

……

師：今天這節(jié)課，大家對數(shù)列概念的形成和通項(xiàng)公式的歸納學(xué)得很好，尤其學(xué)生甲、乙做得更好，他（她）們對習(xí)題第34頁B組第一題的通項(xiàng)公式的歸納有獨(dú)到見解，非常精彩.以后大家多交流，多合作，一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)、新的收獲！

說心里話，我翻閱教參，介紹用遞推公式可以求得通項(xiàng)公式，具體方法是從圖形進(jìn)行觀察出這個(gè)數(shù)列的遞推公式an=8an-1+1，也就容易求得前五項(xiàng).學(xué)生甲、乙和丙的方法完全是觀察、歸納、概括得到結(jié)論，沒有依照先尋找遞推公式，再進(jìn)行歸納出通項(xiàng)公式的方法進(jìn)行，完全消除了備課時(shí)的困惑和擔(dān)心，也體現(xiàn)出學(xué)生對數(shù)列的領(lǐng)悟能力，表現(xiàn)出來的思路、方法，令我非常高興、感動(dòng).

教學(xué)之后，心里總是被學(xué)生精彩的想法，完美的認(rèn)識(shí)和簡單大氣升維的表示撞擊著.新教材的編寫專家精心打造精品，其中數(shù)與形的完美結(jié)合，在學(xué)生觀察思考后，產(chǎn)生出精妙的思想火花.再細(xì)細(xì)品讀教材中的習(xí)題，每一道都或多或少閃爍著編者獨(dú)具匠心的光芒.我深深地感到數(shù)學(xué)的無窮魅力與精彩.心中對教材的編排思路漸漸清晰了，不由得感謝新教材給教學(xué)帶來新的生機(jī)！

五、對教學(xué)的啟示

1.自主探究圖形放飛學(xué)生思維.

數(shù)學(xué)課堂是在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S邏輯、清晰的條理、簡潔的符號(hào)表示的過程中進(jìn)行的，教師一定要用數(shù)學(xué)的魅力呼喚出學(xué)生對數(shù)學(xué)的原本思維，如在學(xué)生甲、乙說出正確答案后追問“你是如何快速算出第三個(gè)圖形中的正方形數(shù)”與“能告訴大家你是如何聯(lián)想到進(jìn)位制的記數(shù)知識(shí)”，有意讓學(xué)生甲、乙回答自己的思維過程，其目的是強(qiáng)力“擠”出學(xué)生甲、乙的思維方法，強(qiáng)化學(xué)生進(jìn)一步對問題的深刻領(lǐng)悟，喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)的直觀感悟和理性思維的交匯靈性.在教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)列就是一種特殊函數(shù)的意識(shí)，同時(shí)也對前面例題2中的著色三角形個(gè)數(shù)與序號(hào)關(guān)系及其數(shù)量關(guān)系加深理解.

生乙在觀察同學(xué)甲歸納出的通項(xiàng)公式后，有新的發(fā)現(xiàn)：聯(lián)想到用類比二進(jìn)制計(jì)數(shù)方式來表示十進(jìn)制的數(shù)，即用八進(jìn)制來表示問題中的每一項(xiàng)的正方形的個(gè)數(shù)，贏得了好多學(xué)生的掌聲.筆者當(dāng)時(shí)也很興奮，油然想起“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需求——這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者”（蘇霍姆林斯基語）.說明在數(shù)學(xué)教學(xué)中，多讓學(xué)生擁有更多的自由思考的時(shí)間和空間，多一些平等交流表達(dá)的機(jī)會(huì)，學(xué)生的思維會(huì)得到放飛.

對平時(shí)不善言談的學(xué)生丙要多鼓勵(lì)，能積極發(fā)言就是大進(jìn)步，有利于學(xué)生思維的拓展和視野的開闊.為了更好地暴露學(xué)生的直觀思維，激勵(lì)、點(diǎn)撥學(xué)生從圖形的結(jié)構(gòu)、放置方式、正方形的大小與個(gè)數(shù)等多方位進(jìn)行觀察、聯(lián)想，目的是喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的靈感.學(xué)生甲的“升維”寶塔的思維方式敘述地形象、逼真，學(xué)生乙的計(jì)數(shù)結(jié)構(gòu)用類比二進(jìn)制計(jì)數(shù)法顯得簡潔、美妙.唯有這樣，才能讓學(xué)生在某個(gè)問題、某種解法的精妙之中獲得樂趣，更能提升、錘煉學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維，強(qiáng)化由直覺思維自覺進(jìn)入理性思辨，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在教育形態(tài)中不斷升華.

2.以“退”為“進(jìn)”，“悟”出數(shù)學(xué)本質(zhì).

在教學(xué)中，只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出概念的理解和運(yùn)用、思維能力的培養(yǎng)，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).題目要求“寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)公式”，學(xué)生觀察圖形時(shí)，抓住了兩個(gè)關(guān)鍵的機(jī)會(huì)，一是抓住關(guān)鍵步驟一般化的思維方式；二是特殊條件（圖形特征）精致化.生甲是將第三個(gè)圖形作為“退”的最原始“點(diǎn)”（第一個(gè)、第二個(gè)圖形不能充分地體現(xiàn)出圖形特征）進(jìn)行立體分層，提升位置成立體圖，變成金字塔狀進(jìn)行計(jì)算，突出了圖形的特征，把復(fù)雜問題簡單化、精致化.生乙的計(jì)數(shù)結(jié)構(gòu)用類比二進(jìn)制計(jì)數(shù)法更能凸顯數(shù)學(xué)的精致和美妙，即對a3=82+8+1=111（8）=73（個(gè)），a4=83+82+8+1（個(gè)）=1111（8）；a5=84+83+82+8+1（個(gè)）=11111（8）等數(shù)的改寫，促進(jìn)對得到的正方形數(shù)的八進(jìn)制表示的“悟理”，很快歸納出an=111…11（8），其中有n個(gè)“1”.這完全印證了著名數(shù)學(xué)家華羅庚的“退”字解決問題的訣竅，“退”是方法、手段、途徑，“退”的目的是為“進(jìn)”，關(guān)鍵取決于“悟理”.

學(xué)生解題經(jīng)歷了從“形”的觀察、分析、歸納到“數(shù)”的代數(shù)式的表示，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想、方法和學(xué)生的聰明才華，這些是教學(xué)關(guān)注的重點(diǎn).學(xué)生甲、乙精彩的巧思妙解來源于對問題更深入、更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷了“退”、“悟理”、“進(jìn)”的過程，有利于進(jìn)一步強(qiáng)化對數(shù)列知識(shí)理解的深刻性、數(shù)列概念掌握的全面性、運(yùn)用數(shù)列知識(shí)的靈活性等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.

3.研發(fā)課本資源，搭建成就學(xué)生平臺(tái).

數(shù)學(xué)教學(xué)可以說是發(fā)展學(xué)生的思維能力的過程.對待教材熟悉平淡的例題、習(xí)題，一定要從有利于學(xué)生信心的提升、思維的展開上下工夫，將數(shù)學(xué)思想方法和新課程理念貫徹、落實(shí)其中，學(xué)生的理性思維就會(huì)自然得到提升.尤其是學(xué)生對問題的分析態(tài)度、探究的目光就會(huì)不斷地持續(xù)發(fā)展.如學(xué)生乙將數(shù)列的通項(xiàng)公式an=1+8+82+83+…+8n-1（個(gè)），類比用二進(jìn)制的方法計(jì)數(shù)為an=111…11（8），其中有n個(gè)“1”是解題探究的一個(gè)亮點(diǎn)，看起來簡單，但要想到卻不容易，這樣拓展了二進(jìn)制等進(jìn)位制思想的解題功能.學(xué)生甲的“升維”寶塔思維方式從“平面”到“立體”，展現(xiàn)出了思維的開放性，點(diǎn)亮了師生思維的火花，讓數(shù)學(xué)教學(xué)在研發(fā)教材資源，做足“做數(shù)學(xué)”的“過程”中，更多地開拓出學(xué)生思維的一點(diǎn)“靈光”，激發(fā)、成就、喚醒學(xué)生，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出無限的生機(jī)和活力，享受著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維快樂，探究能力自然會(huì)得到進(jìn)一步的提升.

在新課程數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的精彩表現(xiàn)，總是在頭腦中不斷地旋回，我深深感悟到：學(xué)生的奇思妙想凸顯著數(shù)學(xué)的精彩，編者的匠心寓意蘊(yùn)涵新課程理念！又一次體會(huì)到德國教育家第斯多惠的一句名言：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞.”