導數應用中需明確的幾個問題

☉湖南省永州市第一中學 李 毅

導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，是高考的熱點，高考對導數的考查定位于作為解決初等數學問題的工具出現，在導數的學習中有以下幾個方面需要明確，請同學們參考.

一、明確在某點的切線還是過某點的切線

例1已知函數f（x）=xlnx.若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程.

解：設切點坐標為（x0，y0），則y0=x0lnx0，切線的斜率為lnx0+1，所以，所以直線l的方程為x－y－1=0.

點評：在某點的切線，即該點為切點，進而可直接利用導數的幾何意義求解.過某點的切線，該點可能在曲線上，也可能不在曲線上.過某點的切線可能不止一條.

二、明確原函數的圖像與導函數圖像的區別

圖1

圖2

例2已知函數y=f（x），y=g（x）的導函數的圖像如圖1，那么y=f（x），y=g（x）圖像可能是（ ）.

解：由導函數的圖像可知，y=f′（x）在（0，+∞）上單調減，說明函數y=f（x）的圖像上任意一點切線的斜率為單調減，排除A、C.又由圖像知兩導函數在x=x0處相交，說明兩函數y=f（x），y=g（x）的圖像在x=x0處的切線斜率相等，排除B.答案為D.

點評：函數的增減性，由導數值的符號反映出來，由導函數圖像可大略知道函數的圖像，解此類題需要對導數含義深刻理解.

三、明確是求最大值還是求最小值

若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖像恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍.

當x2>x1=1，即時，在（x，+∞）上有g（′x）>0，此時g（x）2在區間（x2，+∞）上是增函數，并且在該區間上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合題意；

當x2

點評：f（x）的圖像恒在直線y=2ax的下方，即g（x）=f（x）-2ax<0恒成立，進而轉化為求gmax（x）<0.

四、明確是分開求最值還是合起來求最值

（1）判斷函數f（x）的單調性；

由（1）知，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，所以函數f（x）在（0，2）的最小值為

若對任意x1∈（0，2），當x2∈［1，2］時，f（x1）≥g（x2）恒成立，只需當x∈［1，2］時，即可.

點評：本題中兩個函數f（x1），g（x2）的變量x的取值獨立，故應分別求最值.