構(gòu)造直角三角形巧解一類三角求值問題

☉江西省全南中學(xué) 肖秋蓮

已知角的某種三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值的問題，是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).同學(xué)們?cè)谇蠼膺@類問題時(shí)，往往由于解題方法的選擇不當(dāng)而一籌莫展.筆者多年的教學(xué)實(shí)踐表明，在處理一些三角求值問題時(shí)，若能充分利用三角問題中所具有的圖形特征，通過構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系，便可簡(jiǎn)潔、迅速地使問題得到解決.下面筆者略舉數(shù)例并加以分析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.

分析：已知正切值求解正、余弦，在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中，并沒有現(xiàn)成的公式可以套用，而必須經(jīng)過一系列的變形，運(yùn)算量較大.本題若利用構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解，運(yùn)算量將大大減小.下面提供兩種求解方法，來加以比較.

解法1：常規(guī)法.

解法2：構(gòu)造法.

將A看成是銳角，構(gòu)造直角三角形ABC（如圖1）.

圖1

由已知tanA<0，知A是鈍角.

點(diǎn)評(píng)：本題若用常規(guī)方法求解，必須利用同角三角函數(shù)關(guān)系式中的平方關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系去進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，運(yùn)算量較大.本題若用構(gòu)造直角三角形法進(jìn)行求解，可簡(jiǎn)捷、快速地求得結(jié)果.

從上題的解法2中不難看出，當(dāng)我們求解角的三角函數(shù)值問題時(shí)，無論這個(gè)角是不是銳角，我們都視之為銳角，先求出角的三角函數(shù)的絕對(duì)值，進(jìn)而由角所在的象限，判斷出函數(shù)值的符號(hào)，從而求得待求的三角函數(shù)值，本過程可簡(jiǎn)記為“將任意角視為銳角，絕對(duì)值不變，符號(hào)看象限”.

例2 （北師大版必修4課本第116頁例3）已知tanα=m（m≠0），求sinα和cosα的值.

分析：本題中不僅含字母參數(shù)，解題時(shí)要分情況進(jìn)行討論，而且由正切轉(zhuǎn)化為正弦、余弦的過程中，公式變形也較復(fù)雜.本題若采用構(gòu)造法解題，可迅速、快捷地得出正確結(jié)果，下面給出兩種解法，進(jìn)行對(duì)比.

解法1：常規(guī)法（教材中提供的解法）.

解法2：構(gòu)造法.

將α看成是銳角A，構(gòu)造直角三角形ABC（如圖2）.

圖2

因?yàn)閠anα=m≠0，α得終邊不在x軸上.

點(diǎn)評(píng)：解法2顯然比解法1簡(jiǎn)單得多；因此在處理含字母的求值問題時(shí)，我們?nèi)匀豢蓸?gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系得出函數(shù)值的絕對(duì)值，然后分情況進(jìn)行討論.在討論過程中，一定要注意角的象限和字母表示的數(shù)的正負(fù)，避免因符號(hào)而導(dǎo)致錯(cuò)解.

分析：本題是一道常規(guī)的三角求值題，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，便可以較快求得結(jié)果.本題若用構(gòu)造法進(jìn)行求解，也可收到意想不到的效果.

點(diǎn)評(píng)：利用構(gòu)造直角三角形法解題時(shí)，正確判斷三角函數(shù)值符號(hào)是解題的關(guān)鍵.

從上述數(shù)例可以看出，利用構(gòu)造直角三角形求解三角函數(shù)值，既準(zhǔn)確又快捷，尤其是在解決客觀性問題時(shí)，能起到事半功倍的效果，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中不妨一試.