待定系數法在解題中的應用

☉浙江省諸暨市湄池中學 宋健紅

對于某些數學問題，若得知所求結果具有某種確定的形式，則可研究和引入一些尚待確定的系數（或參數）來表示這樣的結果，通過變形與比較，建立起含有待定字母系數（或參數）的方程（組），并求出相應字母系數（或參數）的值，進而使問題獲解，這種方法稱之為待定系數法.應用待定系數法解題的必要前提是正確判斷解的形式結構，對此必須結合其他知識，其他方法綜合考查.由于它的應用的廣泛性和它在中學數學與高考中的突出作用，它已經成為一種重要的解題思想.

一、在不等式中的應用

分析：求函數的表達式，實際上就是確定系數m、n的值.

要使函數有最大值7，最小值-1，亦就是-1≤y≤7，顯然（y+1）（y-7）≤0.

比較①、②的系數得方程組：

評注：從上述求解過程可以看出，待定系數法可以整體使用已知條件，簡化運算過程，避免錯解.

二、在數列中的應用

例2 是否存在這樣的等差數列{an}，使它的首項為1，公差不為0，且其前3n項中，前n項的和與其后2n項的和的比值對于任意自然數都等于常數？若存在，求出數列{an}的通項公式及該常數；若不存在，說明理由.

解：設存在這樣的等差數列{an}，其公差為d，前n項的和記為Sn，則其后2n項的和為S3n-Sn.

評注：有些數列問題，通過引入或研究一些尚待確定的系數轉化命題結構，經過變形與比較，建立起含有待定字母系數的方程組，由此求出相應字母系數的值，進而使問題獲解.

三、在三角中的應用

例3已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β適合0≤α＜β≤π，試問：α、β取何值時，f（θ）的值恒為定值？

評注：對于恒為定值的三角函數求參問題，可以通過分離主變量，視主變量的系數為0，這樣就可以求出參數值.

四、在圓錐曲線中的應用

解法1：因為橢圓的焦點位置不確定，故可考慮兩種情形.（1）當橢圓的焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為：

故所求橢圓的方程為4y2+5x2=1.

解法2：設所求橢圓的方程為Ay2+Bx2=1（A＞0，B＞0）.依題意，可得：

故所求橢圓的方程為4y2+5x2=1.

評注：確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面.“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以判斷方程的形式；“定量”則是指確定a2、b2的具體值，常用待定系數法.