淺議立體幾何最值問題的處理方略

☉江蘇省灌南高級中學 徐子娟

立體幾何中有關角、距離、面積、體積等最值問題頻頻出現在近年的高考試卷中，此類問題涉及的知識面廣，靈活性強.筆者通過對近年來高考題中幾個典型的例題進行分析，淺談這類問題的處理方略，供參考.

一、定性分析法

例1 已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）.

點評：本題中由于AB的長是定值，所以當三角形PCD的面積取最大值時，四面體ABCD的體積最大；于是本題可轉化為求三角形PCD中CD邊上的高h的最大值問題.

二、定量分析法

例2（2011山東卷理）在如圖1所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF.

（1）若M是線段AD的中點，求證：GM∥平面ABFE；

（2）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小.

圖1圖2

解析：（1）如圖1所示，連接AF，可證得FG∥AM且FG=AM.

所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM∥FA.又FA?平面ABEF，GM?平面ABEF，所以GM∥平面ABFE.

（2）分別以AC、AD、AE所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系.

因此二面角A-BF-C的大小為60°.

點評：本題涉及二面角，條件之間的關系不容易發現；利用向量法可以將兩個面之間的關系有機地連接起來，運算較為簡便.

三、基本不等式法

圖3

例3 如圖3，過半徑為R的球面上一點P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC.

（1）求證：PA2+PB2+PC2為定值；

（2）求三棱錐P-ABC的體積的最大值.

解析：（1）設過PA、PB的平面截球得⊙O1.由PA⊥PB，得AB是⊙O1的直徑.連接PO1并延長交⊙O1于D，則四邊形PADB是矩形，PD2=PA2+PB2.設O為球心，則OO1⊥平面⊙O1.由PC⊥⊙O1所在平面，得OO1∥PC，因此過PC、PD的平面經過球心O，截球得大圓.又PC⊥PD，則CD是球的直徑.故PA2+PB2+PC2=PD2+PC2=CD2=4R2，為定值.

（2）設PA、PB、PC的長分別為x、y、z，則三棱錐P-ABC的體積

點評：本題新穎靈活，綜合性較強，需用基本不等式進行求解.在均值不等式的應用中要注意應用條件.

四、導數法

（1）當棱錐A′-PBCD的體積最大時，求PA的長；

（2）若點P為AB的中點，E為A′C的中點，求證：A′B⊥DE.

x 0，2 3■3（ ）233 2 3■3 ，+∞（ ）f′（x）+0-f（x）單調遞增極大值單調遞減

△A′PB為等腰直角三角形，A′B⊥PF，所以A′B⊥DE.

點評：從近年來全國高考命題形勢看，在立體幾何中滲透變量思想，而隨著導數學習的深入，利用導數處理函數的最值問題已經成為重要手段，那么在立體幾何中利用導數處理最值問題是一種很好的嘗試.本題不同于前面的試題，它的亮點在于本題盡管用到導數但是仍然屬于立體幾何計算和證明題，這一點比起其他試題具有更加鮮明的特色.