轉化與化歸思想在解題中的應用

☉江蘇省盱眙中學 杜加強

轉化有等價轉化與不等價轉化.等價轉化要求轉化過程的前因與后果既是充分的，又是必要的，以保證轉化后所得的結果為原題的結果；不等價轉化其過程則是充分或必要的，這樣的轉化能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口.不等價轉化要對所得結論進行必要的修正（如解無理方程轉化為解有理方程，要進行驗根）.

一、陌生與熟悉的轉化

解題時往往從考查新問題的結構、特點入手，橫向回想與之形似的某些熟知情境及處理方法，或縱向聯想類似解決過的問題及解決方式，這樣，就能很快找到解決問題的突破口.

評析：通過變形、變量代換等方法，把已知式轉化為同學們比較熟悉的an+1=pan+q型的一階遞推數列問題，通過構造等比數列等一系列化歸手段，把非等比數列問題轉化成等比數列問題.只有熟悉一些常見的解題方法，熟悉教材，才能處理好陌生向熟悉轉化的關系.

二、等與不等的轉化

將等式與不等式對應等價轉化，是轉化數學問題的常用和有效手段.

例2 若正數a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是______.

三、三個一元二次的互相轉化

三個一元二次（函數、方程、不等式）綜合問題，是中學數學中重要問題，它具有令人矚目的地位.尤其是以一元二次方程形式出現的不等式證明問題，既是高考的熱點題型，又是頗難解決的數學綜合題.這類問題若能抓住三個一元二次之間的內在聯系，利用一元二次函數的特有性質，在紛繁的困惑中求得簡捷的突破.

例3設二次函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個根

證明：由x1、x2是方程f（x）-x=0的兩個根，得f（x）-x=a（x-x1）·（x-x2）.

當0＜x＜x1時，由a＞0，得a（x-x1）（x-x2）＞0，則x＜f（x）；

又x1-f（x）=x1-x-a（x-x1）（x-x2）=（x1-x）［1+a（x-x2）］.

所以有x＜f（x）＜x1成立.

四、正與反的轉化

有些數學問題，如果直接從正面入手求解，難度大，致使解題思路受阻，但此時考慮問題的反面，則可使問題獲解.

例4y=f（x）在它的定義域內是增函數.

（1）證明y=f-1（x）在其定義域內也是增函數；

（2）若f（x）=f-1（x），證明：f（x）=x.

證明：設函數f（x）的定義域為A，值域為B，則其反函數f-1（x）的定義域為B，值域為A.

（1）任取x1∈B，x2∈B，且x1＜x2，假設f-1（x1）＜f-1（x2）不成立，則應有f-1（x1）≥f-1（x2）.

又f-1（x1）∈A，f-1（x2）∈A，從而f（x）在A上是增函數，所以f［f-1（x1）］≥f［f-1（x2）］，即x1≥x2，這與所設x1＜x2矛盾.

故假設不成立，所以f-1（x1）是增函數.

（2）假設f（x）≠x，則在f（x）的定義域內存在x0，使f（x0）≠x0，不妨設f（x0）＞x0.記f（x0）=x1，則x1＞x0，且f-1（x1）=x0.因為f-1（x）=f（x），所以f（x1）=x0.又因為f（x）為增函數，所以由x1＞x0，得f（x1）＞f（x0），即x0＞f（x0），與假設矛盾.故f（x）=x成立.

五、常量與變量的轉化

有些數學題中的常量具有特殊性，常常暗示著某種巧妙的解題思路，并有尋求解題途徑的導向功能，如能充分挖掘，巧妙轉化，可以簡化運算，優化解題過程.

六、構造命題與形式轉化

通過分析構造一個與原命題相關的新命題，將原命題結構從形式上轉化，這樣使比較難解的原命題轉化為較易解決的新命題，通過對新命題的研究達到解決原命題的目的.