多模型粒子濾波在機動目標跟蹤中的應用

閆文利， 王建剛， 柳 毅

(光電控制技術重點實驗室，河南洛陽 471009)

0 引言

由于雙機協同無源跟蹤能夠提供飛機的隱蔽性，符合“靜默”攻擊的要求，使其成為近幾年最廣泛研究的跟蹤技術之一。在以往的研究中，一般假設目標勻速執行運動或變速直線運動［1－2］，而空中運動的目標總是機動的，因此研究空中機動目標的跟蹤具有很強的現實意義。

現有的機動目標跟蹤算法中，由 Bolm和 Bar-Shalom提出的交互式多模型(Interacting Multiple Model，IMM)及其改進算法被廣泛應用于跟蹤機動目標［3－5］。該方法采用馬爾科夫轉移概率進行模型切換，對線性機動的目標達到很好的跟蹤效果。目前主要采用交互式多模型(IMM)和擴展卡爾曼濾波相結合處理非線性問題［6－7］，由于擴展卡爾曼濾波(EKF)對非線性模型進行一階線性化，這樣不可避免地引入很大的線性誤差，造成跟蹤精度大大降低，甚至出現失跟現象，限制了交互式多模型的進一步發展。

近年來，許多學者將交互式多模型和粒子濾波相結合用以處理非線性問題，并取得很好的效果。文獻［8］指出了交互式多模型方法和粒子濾波結合時存在的主要問題，并介紹了幾個有價值的應用方向;文獻［9］提出一種基于多模型粒子的多目標跟蹤算法，有效地解決了密集雜波環境下機動多目標跟蹤中的非線性問題。現有的文章基本都是對二維機動目標進行跟蹤，本文在雙機協同跟蹤的基礎上，將交互式多模型粒子濾波用于跟蹤空中三維機動目標。最后通過仿真表明，該算法對空中三維機動目標跟蹤效果優于擴展卡爾曼濾波和交互式多模型擴展卡爾曼濾波。

1 系統模型

考慮協同飛機與空中機動目標的幾何關系，建立如圖1所示的笛卡爾三維坐標系。其中:φ1和θ1為目標相對于飛機1的方位角和俯仰角;φ2和θ2為目標相對于飛機2的方位角和俯仰角。

圖1 協同飛機與目標的幾何關系Fig.1 The geometry of cooperative planes and target

其中:w(k－1)是以Q為協方差的非高斯過程噪聲。

協同飛機在任意采樣k時刻可以提供目標相對于該飛機的方位角和俯仰角信息，則該系統觀測方程為

其中:Z(k)=［φ1(k)，θ1(k)，φ2(k)，θ2(k)］T，

其中:xP1(k)，yP1(k)，zP1(k)，xP2(k)，yP2(k)，zP2(k)分別表示k時刻飛機1和飛機2相對于坐標原點的距離在X，Y，Z坐標軸上的分量;v(k)是以R為協方差的高斯白噪聲且與w(k－1)相互獨立。由式(2)可知該系統的觀測方程有很強的非線性。

2 粒子濾波

粒子濾波是通過蒙特卡羅法從后驗概率隨機抽取一組帶權重的粒子集，用粒子集來逼近后驗概率分布，并序貫地預測和更新。粒子濾波一經提出就成為解決非高斯非線性問題最熱門的算法之一，如今已被廣泛應用于目標跟蹤［10］、信息處理［11］等領域。

假設已知目標狀態的初始概率密度，并且已獲取k－1時刻的概率密度p(X(k－1)/Z(k－1))，在式(1)和式(2)的基礎上，則預測和更新過程為

理論上可通過式(3)和式(4)求取后驗概率密度分布，但通常情況下積分的解析解很難獲得。后驗概率分布可以用有限個離散樣本來近似，問題是通常很難直接從后驗概率采樣。為了解決這一問題，可以從一個已知的、容易采樣的重要性函數q(X(k)/Z(k))采樣一組粒子集來逼近后驗概率密度分布，則粒子的重要性權值為

則后驗概率的真實分布用式(6)逼近為

假設系統的狀態是一個馬爾科夫過程，且各次觀測相互獨立，由此得到重要性函數的另一種表達式為

從而得到重要性權值迭代公式為

可見重要性函數的選擇至關重要，目前還沒有一個廣泛使用的重要性函數，先驗概率分布是目前較常使用的重要性函數

順序重要性采樣是目前使用比較多的采樣方法之一，但其缺點是隨著時間的推移將出現粒子的退化現象。因此，文獻［8］提出了重采樣的方法來解決粒子退化問題，然而重采樣又會造成粒子的貧化現象，為了恢復粒子的多樣性，又引入了MCMC移動步驟算法，二者的結合基本解決了粒子的退化和貧化現象。

3 交互式多模型粒子濾波

交互式多模型粒子濾波是融合交互式多模型和粒子濾波算法的一種新算法。該算法充分發揮交互式多模型和粒子濾波各自的優點，既解決了機動目標跟蹤過程中模型不匹配的問題又可對非線性非高斯問題起到很好的作用。假設模型轉移概率矩陣Π={πij，i，j=1，2，…，M}，模型概率 U={ui，i=1，2，…，M}，M 為模型數。已知目標的初始狀態Xi(0)，i=1，2，…，M和協方差Pi(0)，i=1，2，…，M。另外，該算法的每個模型采用固定數目的粒子。交互式多模型粒子濾波的主要過程如下所述。

1)隨機采樣粒子集。

在k(k＞0)時刻根據k－1時刻各個模型狀態和協方差的均值隨機采樣各個粒子狀態1，2，…，M，n=1，2，…，N 和協方差1，2，…，M，n=1，2，…，N，其中 N 為粒子個數。

2)輸入交互。

各個模型間相應的粒子進行交互

3)濾波。

在輸入交互的基礎上每一個粒子匹配一個粒子濾波器對其進行濾波，根據式(1)和式(2)得到粒子的狀態預測和觀測預測為

粒子的重要性權值為

殘差重采樣。

4)模型概率更新。

各模型的似然函數為

各模型概率更新為

5)輸出交互。

對各模型進行輸出交互得到狀態及其協方差的估計值

4 仿真與分析

4.1 運動軌跡

在整個跟蹤過程中兩架協同飛機在做高度不變勻速直線運動，目標沿Z軸方向一直做勻速直線運動，在XOY平面上的運動有以下7個階段:

1)0～20 s目標做勻速直線運動;

4.2 仿真結果分析

本文采用擴展卡爾曼濾波(EKF)、交互式多模型擴展卡爾曼濾波(IMMEKF)和交互式多模型粒子濾波(IMMPF)3種算法對空中機動目標進行跟蹤。圖2是目標運動的真實軌跡和EKF、IMMEKF、IMMPF算法的跟蹤軌跡。

圖2 目標運動真實軌跡和3種算法的跟蹤軌跡Fig.2 The true trajectory of target and tacking trajectory of three algorithms

圖3 為EKF、IMMEKF、IMMPF算法X位置的均方根誤差;圖4為EKF、IMMEKF、IMMPF算法Y位置的均方根誤差;圖5為EKF、IMMEKF、IMMPF算法Z位置的均方根誤差。

圖3 X位置均方根誤差Fig.3 The root mean square error of X poistion

圖4 Y位置均方根誤差Fig.4 The root mean square error of Y poistion

綜合分析圖2～圖5可以看出，在目標勻速直線運動階段(0 ～20 s，30 ～50 s，60 ～80 s，90 ～100 s)IMMPF的跟蹤性能與EKF和IMMEKF基本相同，甚至有些時候稍弱于后面二者;但在目標轉彎機動階段(20～30 s，50～60 s，80～90 s)IMMPF的跟蹤性能明顯優于EKF和IMMEKF;在目標從機動轉為勻速直線運動后IMMPF收斂速度最快，IMMEKF次之，EKF最差;分析整個跟蹤過程發現EKF和IMMEKF在目標直線運動時跟蹤精度高，目標轉彎機動時跟蹤精度明顯降低，而IMMPF基本不變，說明IMMPF有很強的魯棒性。

圖5 Z位置均方根誤差Fig.5 The root mean square error of Z poistion

5 結論

本文在雙機協同跟蹤的基礎上，將交互式多模型粒子濾波應用到對空中機動目標跟蹤過程中，基本上解決了擴展卡爾曼濾波和交互式擴展卡爾曼濾波處理非線性問題的局限性。最后，通過仿真驗證了交互式多模型粒子濾波的跟蹤精度、收斂速度和魯棒性等方面明顯優于擴展卡爾曼濾波和交互式多模型擴展卡爾曼濾波。

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