函數最值問題探微

☉江蘇興化市板橋初級中學 張仁榮

函數最值問題，是函數中的熱點問題，如求利潤的最大值，費用的最小值等問題中常會出現.解決此類問題要構建合理的函數模型，將實際問題數學化并運用函數知識解決問題.

一、構建一次函數模型解決實際問題中的最值問題

一次函數的單調性受比例系數k影響，當k＞0時，y隨著x的增大而增大；當k＜0時，y隨著x的增大而減小.所以一次函數在定義域內并無最大值或最小值，但在實際問題中一次函數的自變量的取值有一定的范圍，所以可以根據此范圍結合函數的單調性來求解最值問題.

例1 某電器商城“家電下鄉”指定型號冰箱、彩電的進價和售價如下表所示：

類別 冰箱 彩電進價（元/臺） 2320 1900售價（元/臺） 2420 1980

（1）按國家政策，農民購買“家電下鄉”產品享受售價13%的政府補貼.農民田大伯到該商場購買了冰箱、彩電各一臺，可以享受多少元的補貼？

分析：由題可知商場的利潤等于銷售冰箱的利潤和銷售彩電的利潤之和，所以根據“單件利潤×數量=總利潤”找出總利潤y與x間的函數關系式.最后根據一次函數的單調性，求出函數的最值，從而解決問題.

解：（1）（2420+1980）×13%=572.

（2）①設冰箱采購x臺，則彩電采購（40-x）臺，根據題意得：

因為x為整數，所以x=19、20、21.

方案一：冰箱購買19臺，彩電購買21臺.

方案二：冰箱購買20臺，彩電購買20臺.

方案三：冰箱購買21臺，彩電購買19臺.

設商場獲得總利潤為y元，則：

因為20＞0，所以y隨x的增大而增大.

所以當x=21時，y最大=20×21+3200=3620.

點評：構建一次函數模型解決實際問題中的最值問題，關鍵要注意兩點：一要根據一次函數的單調性，二要求出一次函數的自變量的取值范圍.根據函數的單調性求出函數的最大值或最小值，從而解決實際問題.

二、構建二次函數模型解決生活中利潤最大值問題

例2 今年我國多個省市遭受嚴重干旱.受旱災的影響，4月份，我市某蔬菜價格呈上升趨勢，其前四周每周的平均銷售價格變化如下表：

（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識直接寫出4月份y與x所滿足的函數關系式，并求出5月份y與x所滿足的二次函數關系式.

分析：由題意可知，4月份銷售利潤=銷售總價-成本，滿足一次函數關系，可以根據一次函數的性質求出最大值；5月份的銷售利潤與x滿足二次函數關系，可以借助二次函數的頂點坐標求出函數的最大值，解決利潤最大值問題.

解：（1）4月份y與x滿足的函數關系式為y=0.2x+1.8.

所以五月份y與x滿足的函數關系式為y=-0.05x2-0.25x+3.1.

（2）設4月份第x周銷售此種蔬菜1千克的利潤為W1元，5月份第x周銷售此種蔬菜1千克的利潤為W2元.

因為-0.05＜0，所以W1隨x的增大而減小.

所以當x=1時，W1最大=-0.05+0.6=0.55.

所以x＞-0.5時，y隨x的增大而減小.

所以當x=1時，W2最大=1.

所以4月份銷售此種蔬菜1千克的利潤在第1周最大，最大利潤為0.55元；5月份銷售此種蔬菜1千克的利潤在第1周最大，最大利潤為1元.

點評：在實際問題中，如果兩變量滿足二次函數關系時，可構建二次函數模型并通過對二次函數的最值的求解，解決實際中的最值問題.

函數的最值問題在實際運用中比較廣泛，也是學習中的重點內容，解題的關鍵要從實際生活中抽象出數學模型，將實際問題數學化通過對數學知識的求解，來解決實際問題.