賞析中考“新定義”試題

☉北京宏志中學 陽娟娟

新課改以來，各地中考試題中不斷出現一類新題型，這類題型設計角度新穎、解答靈活多樣，主要考查學生的閱讀理解能力、應變能力和解決問題的能力，我們稱之為“新定義”試題.求解這類試題的關鍵是正確理解新定義，并用此定義為依據，綜合所學知識來解決問題.

一、新定義“三角形數”和“正方形數”

例1 古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10、…這樣的數稱為“三角形數”，而把 1、4、9、16、…這樣的數稱為“正方形數”.從圖1中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看做兩個相鄰“三角形數”之和.下列等式中，符合這一規律的是（ ）.

A.13=3+10

B.25=9+16

C.36=15+21

D.49=18+31

解析：本題介紹的是多角形數定理的補充：在古希臘，畢達哥拉斯學派把 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形.他們把 1，4，9，16，25，36，49，64，…這些數叫做正方形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正方形.從每個圖中劃了一條斜線后，就可以發現：兩個相繼的三角形數之和是正方形數；而每個正方形數必須是完全平方數，故排除A.后面的三角形數必須是 1+2+3+…這樣的數，15=1+2+3+4+5，21=1+2+3+4+5+6.因此選擇C.

二、新定義“完全對稱式”

例2 若將代數式中的任意兩個字母交換，代數式不變，則稱這個代數式為完全對稱式，如a+b+c就是完全對稱式.下列三個代數式：①（a+b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a，其中是完全對稱式的是（ ）.

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

解析：第一個代數式很明顯，只含有a、b兩個字母，把a換成b，把b換成a，所得代數式和原代數式相同.第二個代數式不管怎樣換都不會變，因為式子中是3個數兩兩相乘，每個數扮演的角色完全相同，所以是完全對稱式.但第三個式子a，b，c在底數和指數的位置不同，角色就不同了，不象第一個式子都是乘數，相互之間位置不存在區別，所以互換就會造成a，b，c在底數和指數的位置發生改變，所以第三個式子不是完全對稱式.故選擇A.

三、新定義“鳳凰方程”

例3 定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程.已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數根，則下列結論正確的是（ ）.

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

解析：由一元二次方程的根的判別式可得，當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根.又由“鳳凰”方程得到a+b+c=0，變形為b=-a-c，然后代入判別式，（-a-c）2-4ac=0，即a2-2ac+c2=0.根據完全平方公式，可以得出a=c，故選擇A.

四、新定義“黃金矩形”

解析：留下的矩形CDFE是黃金矩形.

因為四邊形ABEF是正方形，

所以AB=DC=AF.

即點F是線段AD的黃金分割點.

故矩形CDFE是黃金矩形.

五、新定義“準內點”

例5 定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，且到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內點.如圖3，PH=PJ，PI=PG，則點P就是四邊形ABCD的準內點.如圖4，∠AFD與∠DEC的角平分線FP、EP相交于點P.求證：點P是四邊形ABCD的準內點.

解析：如圖 4，過點P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD.

因為EP平分∠DEC，

所以PJ=PH.

同理PG=PI.

所以P是四邊形ABCD的準內點.