淺談初中數學觀點下的“相等”與“不等”關系

☉福建廈門市杏南中學 黃志鯤

新人教版八年級上《數學》教科書第十二章《軸對稱》有一個“實驗與探究”材料《三角形中邊與角之間的不等關系》，它是在學習了三角形中“等邊對等角”和“等角對等邊”性質后提出來的反思：如果三角形的邊（角）不相等，那么它們所對的角（邊）的大小關系怎樣？大邊所對的角也大嗎？

第一個問題很容易回答，我們知道“真命題的逆否命題一定也是真命題”，因此我們可以直接下結論：如果三角形的邊不相等，則這些邊所對的角也不相等；反之，如果三角形的角不相等，則它們所對的邊也不相等.

對于第二個問題，針對學生的認知水平，教材利用軸對稱的方法解決問題：已知△ABC中，AB＞AC，將△ABC折疊，使邊AC落在邊AB上，點C落在邊AB的點D處，如圖1，根據“三角形外角大于不相鄰的內角”可知∠ADE＞∠B，即∠C＞∠B，因此有“三角形中大邊對大角”.

對于“大角對大邊”的證明，則可以采用作BC邊的垂直平分線的方法解決，如圖2.

我們再次回顧上面的思維過程：由等腰三角形中很普通的結論“等邊對等角”和“等角對等邊”，“理所當然”地多想了一步“如果不相等會怎樣”——是“大邊對大角”還是“大邊對小角”？

其實這不是“多此一舉”，更不是“嘩眾取寵”！這個“不等”，不僅將學過的“軸對稱”用于比較線段和角的大小，從“動手”到“動腦”，將“軸對稱”提升到新的應用層次，而且從思維角度看，這一步“多想”蘊含著數學思維的嚴密性，對等腰三角形邊角關系的學習沒有僅僅滿足于“相等”，而是繼續研究與其密切相關的“不等”，讓問題從“面”上徹底解決，而不僅僅解決一個“點”.這就是數學的嚴謹和求真，這也是教材要傳遞的一種信息，數學的學習不僅包括數學知識，還包括學習數學知識所需要的態度與素養.

至此，教材將三角形中的“相等”與“不等”關系演繹得淋漓盡致，從“等角對等邊”到“大角對大邊”，從“等邊對等角”到“大邊對大角”，猶如化蛹成蝶，實現了美麗的蛻變，不禁讓人拍案叫絕！在中學教材中將數學的一種思想方法挖掘到如此深刻，是非常少見的，這不得不讓人對這對“不同尋常”的關系刮目相看.“相等”和“不等”是數學中最基本的關系，它們既對立又辯證統一，在一定的條件下，它們又能互相轉化，相輔相成，在許多方面都閃耀著智慧的光芒，讓人驚嘆不已.

這里筆者就初中義務教育階段的數學談一些個人的理解.

對于“相等”與“不等”，從狹義上理解，就是兩個數或量的大小關系.人類最早接觸的數學就是兩數的大小，即兩數a和b的關系是“a＞b”或“a=b”或“a＜b”三者取其一，進而演變成：對于任意實數 a，必有“a＞0”或“a=0”或“a＜0”，或其他類似的表述，結論存在多種可能就給我們提供了“分類討論”的基礎.

從廣義上理解，“相等”與“不等”可以看做是“符合”或“不符合”某種條件，而“相等”是一種“臨界狀態”，往往是我們考慮的重點，也是解決問題的突破口，但“不等”同樣也很重要，因為在茫茫的“數海”中，能夠“相等”的畢竟是少數，我們有什么理由不管它們呢？這樣，我們的視野一下子就開闊了：“相等”與“不等”是事物的正反兩面，它是事物的全面反映！它們之間可能是一種和諧的“量變”，也有可能是一種爆發的“質變”.在“相等”與“不等”的思考和探索中，我們將不斷地感受到數學的精辟和奇妙.

筆者以初中數學中幾個比較典型的例子進行說明.

1.在探索一元二次方程判別式Δ=b2－4ac與方程的實數根的關系中，考慮到被開方數Δ=b2－4ac≥0，就有了以下的結論：（1）當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；（2）當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；（3）當Δ＜0時，方程無實數根.

例1 關于x的方程x2+ax+1=0，何時有兩個相等的實數根？兩個不相等的實數根？無實數根？

先解方程 Δ=a2－4=0 得 a=±2，然后在三個區間（－∞，－2），（－2，2），（2，+∞）各取一個數（如：－3，0，3）代入 Δ=a2－4 驗證，當a=－3 和 a=3 時 Δ＞0，當 a=0 時 Δ＜0，故可以得出結論：當 a=±2時，方程有兩個相等的實數根；當a＜－2或a＞2時，方程有兩個不相等的實數根；當－2＜a＜2時，方程無實數根.

注意：初中階段不要求解一元二次不等式，因此關于含參的二次方程實數根的問題可以通過一元二次方程來解決，其中驗證部分涉及二次函數的連續性問題.

在處理不等式或函數的大小比較問題，我們通常借助數形結合，轉化為方程來解決.

（2）x取何值時，二次函數y1=x2的值小于一次函數y2=x+2的值？這里也是要解決“不等”問題，同樣我們先過渡到“相等”，令y1=y2，即x2=x+2，解得x1=-1，x2=2，利用函數圖像我們很快就得到：當-1＜x＜2時x2＜x+2，即y1＜y2.（見圖4）

3.勾股定理逆定理：若△ABC三邊a，b，c，最長的邊c滿足c2=a2+b2，則c邊所對的角C是直角.在人教版中是用“同一法”證明的：先作一個Rt△A′B′C′，直角邊分別是a和b，由勾股定理可知，斜邊A′B′2=a2+b2=c2=AB2，兩個三角形三邊對應相等，故△A′B′C′≌△ABC，因此∠C=∠C′=90°.

這時我們可以進一步問：若c2≠a2+b2，∠C還是直角嗎？這個問題馬上引發了學生的學習熱情，多數學生可以猜想到結果：“若c2＞a2+b2，則c所對的角是鈍角；若c2＜a2+b2，則c所對的角是銳角”，但對于結論如何解釋卻無從下手.這個結論在高中學習了三角函數的余弦定理就可以證明，但在初中階段我們可以利用《幾何畫板》進行演示，讓學生更加直接地理解和掌握這個知識.

從數學的實質上看，每一次的“相等”都必然伴隨著“不等”，例如“角平分線的性質”、“線段垂直平分線的性質”、“圓上的點到圓心的距離相等”、“直線與圓的位置關系”、“方程與不等式”、“函數或代數式最值問題”等等，這里就不再一一贅述.隨著我們對“相等”與“不等”的進一步探究，使我們對問題的認識更加全面，對問題的分析更加透徹，對數學的理解更加深刻.

1.陳宗世.初中數學中相等與不等關系淺析［J］.青海教育，2007年9-10期.

2.楊美璋.不等中探相等的幾種思考策略［J］.中學數學研究，2003年第4期.

3. 顧樹柏.“等”與“不等”的啟示［J］.中學數學教學參考，2000年第3期.

4.義務教育課程標準實驗教科書（數學），八年級上（新人教版）.

5. 袁定喜.初中數學中的“相等”與“不等”［J］.科學課（初中版），2004年第 3期.