百密不疏防漏解

☉江蘇泰州市高港中學 張 東

同學們在學習了圓的知識后，在解與圓有關的問題時，常常由于沒有仔細審題造成漏解.為此特將與圓有關的問題作如下小結.

一、關鍵點的位置認識模糊造成漏解

例1 如圖1，半徑為2的⊙O中，已知弦求弦AB所對圓周角的度數.

作OD⊥AB于D，由垂徑定理得

所以∠OAB=30°.同理∠OBD=30°.

因為∠AOB=120°.

因為弦AB所對圓周角等于是∠AOB的一半，

所以弦AB所對圓周角為60°.

分析：由于圓周角的頂點位置可能在優弧AB上，也可能在劣弧AB上（如圖2），所以弦AB所對的圓周角有兩種可能.

因為∠APB+∠AP1B=180°，

所以∠AP1B=120°.

所以AB所對圓周角的度數為60°或120

例 2 如圖3，半徑為2的⊙O中，弦上一點，且PA=PB，求S△ABP.

錯解：作PD⊥AB.

因為PA=PB，所以D為AB中點.

由垂徑定理得PD必過圓心O.

由例1知OD=1，則PD=3.

分析：由于點P可能在優弧AB上，也可能在劣弧AB上（如圖4），故△ABP也有兩種情形.

正解：（1）若P在優弧AB上.

（2）若P在劣弧AB上，則PD=OP-OD=1.

二、平行弦的位置模糊造成漏解

例 3 如圖5，已知⊙O中，半徑R=5，AB、CD是⊙O內的兩條平行弦，且AB=6，CD=8.求S梯形ABCD.

錯解：過O作直線MN⊥AB，交AB于M，交CD于N.

因為AB∥CD，

所以MN⊥CD.

連接OA、OC.

分析：弦AB∥CD，但AB、CD不一定位于圓心的異側，也可能位于圓心的同側.所以，本題除了上面的情形，還有下面的情形（如圖 6）.

正解：如圖6，過O點作OM⊥AB交CD于N.

則ON⊥CD.

同上解得OM=4，ON=3.

所以MN=1.

則本題正確的解答為S梯形ABCD=49或7.

三、兩圓位置關系模糊造成漏解

例4 如圖7，已知⊙O1與⊙O2相交于AB，AB=24，⊙O1、⊙O2的半徑分別為R1、R2，R1=20，R2=15，求兩圓圓心距O1O2的長.

錯解：設O1O2相交于C.

所以O1O2=O1C+O2C=16+9=25.

分析：兩圓相交，⊙O2的圓心可能在⊙O1外，也可能在⊙O2內.

正解：另一種情況，如圖8.當O2的圓心在⊙O1外時，O1O2=25.

當O2的圓心在⊙O2內時，設直線O1O2交AB于C.

所以兩圓圓心距O1O2是25或7.