巧連輔助線解決圓的有關問題

☉江蘇興化市邊城學校 朱篩東

圓是初中數學中非常重要的內容，在與圓的有關計算與證明中，巧妙添加輔助線是解決此類問題的關鍵與突破口.

一、求圓的半徑常連接圓的半徑

半（直）徑是圓中重要的線段，在分析問題時，利用圓的半（直）徑，容易找出線段間的關系，借助勾股定理來解決問題.

例1 如圖1，兩正方形彼此相鄰且內接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為（ ）cm.

分析：連接OA、OB，根據△OBC的三邊長，運用勾股定理可以求圓的半徑.

解：選C.連接OA、OB，設OD=x.

根據題意，可知AD=2x.

所以OA=

在直角三角形OBC中，OB=OA=

因為小正方形的面積為16cm2，

所以BC=4.

又OC=x+4，根據勾股定理，可得OB2=OC2+BC2，即（42+（x+4）2.

解得x1=4，x2=-2（舍去）.

所以圓的半徑OA=

點評：本題主要運用到圓中正方形與直角三角形的性質進行解題，根據勾股定理可以找出圓的半徑與所給線段間的聯系，借助一元二次方程求出圓的半徑.

二、在垂徑定理的運用中，弦心距是常作的輔助線

垂徑定理內容是垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧.在圓的半徑、弦以及弦心距三個量中，可以根據勾股定理知二求一，其中弦心距是常作的輔助線，可以構成直角三角形來解決問題.

例2 如圖2，⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動點，則OM不可能為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：點M在弦AB上的運動過程中有最大值和最小值，當M處于弦AB的端點時，長度最大；當OM與AB垂時，長度最小，確定范圍后即可作出選擇.

解：當點M與點A重合時，如圖3所示，此時OM=5

根據勾股定理可求得OH=3.

所以3≤OM≤5.

所以OM不可能為2.

點評：垂徑是圓中運算的重要題型，弦心距是此類問題中常作的輔助線，構造直角三角形，根據勾股定理求出線段長度.

例3 在半徑為5cm的圓中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB與弦CD間的距離.

分析：根據弦長、圓的半徑，構建直角三角形，運用勾股定理求線段長度.解決本題要注意分類討論.

解：當弦AB、CD在圓心同側時，如圖4.

根據垂徑定理與勾股定理，可得弦間距離為1cm.

當弦AB、CD在圓心兩側時，如圖5，可得兩弦間距離為7cm.

點評：本題難點在于分類討論，題中僅告訴弦AB、CD的長度，但沒有明確位置，要分開討論，借助垂徑定理求出線段長度,對于此類問題，特別要深挖題設條件，找出所有可能情況.

三、直線與圓相切，過切點的半徑是圓中常添加的輔助線

圓的切線垂直于圓的半徑，并且經過半徑的外端點，當直線與圓有公共點時，證明切線方法是：連接公共點與圓心并證明垂直；當未經出直線與圓公共點時，證明切線方法是：需要過圓心作直線的垂線并證明是圓的半徑.

例4 如圖6，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，FB是⊙O的切線交AD的延長線于點F.

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若DE=3，⊙O的半徑為5，求BF的長.

分析：當已知直線與圓有公共點時，常連接公共點與圓心的連線，并證明垂直來證明切線，本題中連接OD并根據平行線的性質來得到角相等，從而證明垂直，得到切線；問題2中，通過過點D作AB的垂線段，構成相似三角形，并根據相似三角形的性質求出BF的長.

解：（1）連接OD，如圖7.

因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2.

又因為OA=OD，所以∠1=∠3.

所以∠2=∠3，所以OD∥AE.

因為DE⊥AE，所以DE⊥OD.

而D在⊙O上，所以DE是⊙O的切線.

（2）過D作DG⊥AB于G.

因為DE⊥AE，∠1=∠2，所以DG=DE=3，半徑OD=5.

在Rt△ODG中，根據勾股定理，得OG=

所以AG=AO+OG=5+4=9.

因為FB是⊙O的切線，AB是直徑，所以FB⊥AB.而DG⊥AB.

點評：本題中線段經過半徑的外端點，只要證明與半徑垂直即可，本題通過線段的平行證明垂直；本題還用到切線的性質，得到直角三角形，再根據相似三角形的對應邊成比例，求出線段的長度.

圓的有關計算與性質運用中，添加輔助線運用非常靈活，在解題時要注意把圓的有關知識與勾股定理、相似等知識相聯系，尋求解決問題的方法.