圖形運動型試題的分類與思路解析

☉山東膠南市第四中學 喬方榮

數學中的運動變化問題，包括點動、線動、平行移動、翻折、旋轉和滾動等各種運動方式.本文著重探討通過恢復原始（初始）或特殊狀態，找到解決這類問題的思路.

一、動點問題

例1 如圖1，在矩形ABCD中，R、P分別是DC和BC上點，點E、F分別是AP、RP的中點，當P點在BC上從B向C移動，而點R不動時，下列結論正確的是（ ）.

A.線段EF的長逐漸增長

B.線段EF的長逐漸減小

C.線段EF的長始終不改變

D.線段EF的長不能確定

解：解本題時不要被“動”點P所迷惑，以動窺靜，以靜思動，抓住不變因素（定點和定長AR及△APR的中位線EF），自然聯想到不論點P移動到哪一點，EF的“角色”——中位線的特征始終不改變.根據中位線定理，總有EF平行且等于AR的一半，所以線段EF的長度不改變.

二、動線問題

例2 如圖2所示，已知線段AM∥DN，直線l與AM、DN分別交于點B、C，直線l繞BC的中點P旋轉（點C由點D向N點方向移動）.任取變化過程中的兩個圖形，測量AB、CD長度后，分別計算每個圖形的AB+CD（精確到1cm），比較這兩個和是否相同，并證明你的結論.

解：經測量AB1=1.4cm，DC1=0.6cm，AB1+DC1=1.4+0.6=2（cm）.AB2=0.8cm，DC2=1.2cm，AB2+DC2=2（cm）.

所以AB1+DC1=AB2+DC2.

證明：過P點作PE∥AB交AD于E點，則PE∥DN.

在四邊形AB1C1D中，2EP=AB1+DC1.

在四邊形AB2C2D中，2EP=AB2+DC2.

所以E為AD中點，AB1+DC1=AB2+DC2.

三、平移問題

例3 在平面直角坐標系內，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x軸，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B點的坐標是（-1，5）.拋物線y=x2經過上下左右移動后，能否使得A、B、C、D四點都在拋物線上？若能，請說明理由；若不能，則將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=mx2”，試探索m的值，使得拋物線y=ax2+c，經過上下左右移動后能同時經過A、B、C、D四點.

解：本題如果利用圖3，將拋物線移到A、B、C、D四點，再利用A、B、C、D四點的坐標來求m，就太麻煩了！考慮運動具有相對性，將等腰梯形移到如圖4初始位置，在這個位置很容易求出A、B、C、D四點的坐標，從而求出經過A、B、C、D四點的拋物線，題目就簡單得多了！

四、翻折對稱問題

例4 如圖5，一張三角形紙片沿直線DE折疊成如圖形狀，試探索∠A與∠CEA和∠BDA的數量關系.

解：本題如果利用四邊形與三角形的內角和解題，就太麻煩了，考慮∠A是由△ABC翻折而成，我們將折疊圖形恢復到初始位置，題目就簡單得多了.

如圖5所示，根據翻折對稱的性質，易得：

∠EAD=∠EA′D，AE=A′E，AD=A′D.

所以∠EAA′=∠EA′A，∠DAA′=∠DA′A.

因為∠AEC=∠EAA′+∠EA′A，∠ADB=∠DAA′+∠DA′A，

所以∠A與∠CEA和∠BDA的數量關系是：

2∠A=∠CEA+∠BDA.

五、旋轉問題

例 5 如圖6，ABCD是正方形，點E、F分別是BC、CD邊上的兩個動點，如果∠EAF恒等于45°，那么EF∶（BE+DF）等于多少？

解：將BE+DF中的兩條線段轉移到同一條直線上，由此想到將△ADF繞A點順時針方向旋轉90°得△ABP.由旋轉性質知：

BP=DF，AP=AF，∠1=∠2.

又因為∠PAE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=90°-45°=45°，

所以∠PAE=∠EAF=45°，AE=AE，AP=AF.

所以△PAE與△FAE關于AE對稱，可得BE+PB=BE+DF=PE=EF.

所以EF∶（BE+DF）=1∶1.

總結與思考

圖形的“運動”使問題變得很復雜，解決這類題目的關鍵是把動態問題抽象成數學模型，動靜結合，準確地分析問題中什么在變，什么沒變，進而把握住變化過程中不變的關系及圖形.