平中見奇 凡而不俗——一道高考試題的多樣解答及教學思考

☉湖北省武漢市黃陂區第四中學 李紅春

本題素材平樸、形態鮮活，可謂一道陳題，但采擷求解過程卻是精彩紛呈，妙趣橫生.

一、問題解決

在課堂上，通過教師的點撥和引導，學生集思廣益、合作交流、積極探究，動態生成了以下十多種解法.1

二、解法點評

解析幾何中的最值問題通常轉化為函數的最值問題加以解決，題目中的變量往往相互聯系，自變量的選取充滿思辨性.解法1和解法2分別用基本不等式和判別式法求最值是通法，考驗學生的數學基礎；解法3和解法6用柯西不等式簡潔明了，和新課程教學內容掛鉤；解法4和解法5分別通過構造“點到直線的距離”和“向量的夾角”模型解題，展現了學生聯想和構造的能力，是高考考查的熱點；解法7、解法8、解法9滲透了函數與方程、數形結合、等價轉化等思想，充分體現了用數學思想引領解題的大趨勢；解法10、解法11抓住圖形的特點進行直觀分析，鍛煉了學生的直覺思維能力.

三、教學思考

1.解題教學應以整合知識、發散思維和能力為目標

數學是思維的體操，如今的高考試題常在“知識網絡的交匯點、思想方法的交織線和能力層次的交叉區”內命題.本節課通過一題多解，整合了知識結構，為學生從不同角度、不同層次思考問題提供了多維視角，使學生的思維在靈活性、廣闊性、深刻性、創新性等方面得到了鍛煉，發展了學生的思維，提高了學生的解題能力.眾所周知，學習數學的過程與數學解題緊密聯系，而數學能力的提高在于解題的質量而非解題數量.顯然，分析和研究高考試題的解題思路、探究解題過程是學生學會解題和掌握數學技能的有效途徑，對發展學生的思維、提高學生分析問題和解決問題的能力大有裨益.因而，解題教學應以整合知識、發散思維和能力為目標，注重引導學生探究解題的方向和策略，幫助學生在解題過程中不斷總結經驗、積累解題的思維方法，幫助學生構建知識網絡，深化學生的理性認識，提高學生的思維水平.

2.解題教學應注重挖掘高考題的潛在教學功能

本題是2006年上海高考文科試題，可謂一道陳題，然而筆者通過挖掘與豐富，這道題便成為學生課堂發散性思維訓練的良好素材，課堂教學中既鞏固了高中數學中解析幾何、函數、不等式、三角、向量、導數等諸多主干知識，又滲透了函數與方程、數形結合、等價轉化、分類討論等數學思想方法的運用.我們常常強調高考題在高三復習教學中的地位和作用，認為它是高考命題組集體智慧的結晶和今后高考命題的生長點，那么具體怎樣實施？這是一個永恒的話題.高考試題通常簡明扼要、難度適當、編排合理，它們在知識上具有典型性，在方法上具有示范性.因此，只有教師在平常的教學中，抓住歷年高考題中的經典例子，精心設計課堂教學，注重高考題的分析與研討，在傳授知識過程中充分挖掘高考題的潛在教學功能，做到以少勝多，舉一反三，不僅可以鞏固課堂所學基礎知識，滲透思想方法和數學思維，還能激發學生學習數學的興趣，開拓學生的解題思路，擴大解題的“武器庫”，這樣才能有效地培養學生的數學能力，真正為學生減負.