淺析平面內(nèi)常見(jiàn)曲線定義及性質(zhì)的應(yīng)用

☉陜西省米脂縣米脂中學(xué) 常 瑩

平面內(nèi)常見(jiàn)曲線有：線段的垂直平分線，角平分線，圓及圓錐曲線等.他們的定義分別如下：

（1）線段的垂直平分線是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡.

（2）角平分線是平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡.

（3）圓是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.

（4）圓錐曲線是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離（定點(diǎn)不在定直線上）的比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.如果0＜e＜1，則曲線是橢圓；如果e=1，則曲線是拋物線；如果e＞1，則曲線是雙曲線.另外橢圓還可以這樣定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡；雙曲線還可以這樣定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（2a＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡.

下面就本人在教學(xué)中一些體會(huì)，談一談平面內(nèi)常見(jiàn)曲線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用.

一、利用常見(jiàn)曲線定義及性質(zhì)求曲線的軌跡

例1 已知點(diǎn)A是定圓C內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M是圓C上任意一動(dòng)點(diǎn)，線段AM的中垂線與直線MC相交與點(diǎn)N，試求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡.

解析：由點(diǎn)N在線段AM的中垂線上，知|NM|=|NA|.

而|NM|=|CM|-|CN|，則|NA|=|CM|-|CN|，故|NA|+|CN|=|CM|.

點(diǎn)A是定圓C內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M是圓C上任意一動(dòng)點(diǎn).

|AC|、|CM|都是定值，且|AC|＜|CM|，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)，以定圓的半徑為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.

二、利用常見(jiàn)曲線定義及性質(zhì)求值

三、利用常見(jiàn)曲線定義及性質(zhì)求最值

（2）由|PF1|+|PF2|=2a=20，得|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20.

—的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，右邊“=”成立.

故|PM|+|PF2|的最小值為10，最大值為30.