運用建模思想揭示數學本質

☉江蘇省姜堰市第四中學 顏小兵

所謂模型化思想，就是把所考查的實際問題轉化為數學問題，構造相應的數學模型，通過對模型的研究，使實際問題得以解決的數學思想方法.下面僅以模型化思想在銳角三角函數中的應用為例，加以說明.

同學們在學習了解銳角三角函數的應用后，接觸到了幾類應用問題，諸如，測量問題（測高度距離等）航海問題等.這些問題的背景千變萬化，如能將這些實際問題通過建立數學模型，尋求其本質上的同一性.既可以揭示這些應用問題的數學本質，又能使自己從題海中解脫出來，實現以不變應萬變.

在銳角三角函數的應用中測量問題題型種類較多，如測量校園內某一旗桿的高度，測量某一建筑物或山坡的高度.在海上測量某燈塔目標或船與測量人的距離等，其實，這些問題歸納起來無外乎下列兩類.

第一類：異側測量——觀測點在被測物體的異側

例1 某旅游景點有一古塔CD甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側的A、B處，測得塔頂的仰角分別為30°和45°（如圖）已知A、B間距離為60m，求塔的高度.（結果保留根號）

分析：本題已知AB=60m，若設塔高CD=xm，則可設法利用三角函數將AD、BD，表示出來，代入AD+BD=AB即可.

點評：本例中利用已知兩角分別為30°和45°的△ABC和AB邊上的高CD，組成的圖形作為數學模型，實現了從實際問題向數學問題的轉化.

例2 某船在海面上正以20海里每小時的速度向正東方向航行，在A處，測得燈塔C在北偏東60°方向，行駛3小時后到B處，測得燈塔C在船的西北方向，已知燈塔C的周圍20海里范圍內有暗礁，問船在航行過程中有無觸礁危險.

分析：本題與例1看似兩個不同類的問題，先構建數學模型（如圖2）.

由已知∠CAN=60°，所以∠CAB=30°.

∠CBA=45°，只要求出C到AB的距離CD即可.

不難發現本題與例1只是背景不同，數學模型完全一致，故解題目方法基本相同.

第二類：同側測量——觀測點在被測物體的同側

例3 小紅家住在某高層建筑內，從窗后A處看到前面與該樓同一直線上停著兩輛汽車B、C，測得俯角分別為60°和45°，兩輛汽車之間的距離測得為15m，求小紅家窗戶A到地面的距離.（窗本身的高度忽略不計）（結果保留根號）

分析：方法與例1類似、先構建數學教學模型（如圖3）.

設窗高AD為xm，只需將BC用x表示出來即可.

解：設AD=xm，依題意得：

答：（略）

變式一：如圖4在地面上相距15米的BC兩點，測量某一建筑物，測得仰角分別為45°和60°，求建筑物的高度.

變式二：如圖5某船以36海里的速度向正東方向航行，在點A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后可達B點，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里有暗礁（1）試說明點B是否在暗礁區內？（2）若繼續向東航行有無觸礁危險.

答案：（1）BC=AB=18＞16.

所以點B在暗礁區外.

（2）有觸礁危險

通過上面幾例分析我們發現，變式一和變式二的數學模型與例3基本一致，有些背景不同的問題，其實構建數學模型是基本一致的.

通過這里所講的銳角三角函數的應用問題目，希望同學們在今后的學習過程中，只要善于歸納和總結，你一定會發現更多的這樣的實例.當我們運用模型化思想建立了合理的數學模型之后，就會發現它們原來有著許多相同或相似之處.