他山之石 可以攻玉

☉江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

勾股定理形式簡單、寓意深刻，是人類的寶貴財富.關于勾股數，人們有如下的發現：

例1AB是⊙O的直徑，點E是半圓上一動點（點E與點A、B都不重合），點C是BE延長線上的一點，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點H，點H與點A不重合.

（1）求證：△AHD∽△CBD

（2）連HB，若CD=AB=2，求HD+HO

解：（1）略；

（2）設OD=x，則BD=1-x，AD=1+x.

在Rt△HOD中，由勾股定理得：

例2 探索研究：

（1）求證：H點為線段AQ的中點；

（2）求證：①四邊形APQR為平行四邊形；②平行四邊形APQR為菱形；

解：（1）、（2）①略；

過P作PG⊥y軸，垂足為G，在Rt△APG中，AP=

所以平行四邊形APQR為菱形.

（3）略.

例3（2010年江蘇南通卷）已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（-4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等.經過點C（0，-2）的直線l與x軸平行，O為坐標原點.

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關系，并說明理由；

（3）設直線AB上的點D的橫坐標為-1，P（m，n）是拋物線y=ax2+bx+c上的動點，當△PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積.

（2）相切；

（3）如圖3，過點P作PH⊥l，垂足為H，延長HP交x軸于點G.

所以OP=PH，要使△PDO的周長最小，因為OD是定值，所以只要OP+PD最小.

（1）求b的值.

（2）求x1·x2的值.

（3）分別過M、N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M1、N1，判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結論.

（4）對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切.如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由.

解：（1）b=1；（2）、（3）略；

（4）存在，該直線為y=-1.理由如下：

直線y=-1即為直線M1N1.

通過以上例題的分析，我們發現：只要選擇恰當的解決問題的方法，看似困難的問題往往并不像看上去那么困難，我們似乎得出這樣的結論：因為世上很多道理都是相通的，所以只要我們用心去發現，智慧就在我們身邊.