構(gòu)在拋物線上的最架——兩道中考試題及變式研究 值

☉湖北省武漢市吳家山第三中學(xué) 吳 波

初中階段，涉及到“最”值問題的定理、性質(zhì)有三個(gè)：1.兩點(diǎn)之間，線段最短，以及其派生出來的三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；2.二次函數(shù)的最大值和最小值；3.垂線段最短.縱觀近年相關(guān)中考題，拋物線中的最值問題，大約涉及以下四個(gè)方面：線段最長、面積最大、線段之和最小、線段之差最大，前面二者可轉(zhuǎn)化成用“二次函數(shù)最值”解決，后二者常用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化成用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決.本文擬以去年山東兩個(gè)地方中考題為例，敘述架構(gòu)在拋物線上的最值問題，及可能的變式.為與本文所述最值相關(guān)，故將原題中無關(guān)問題舍去.

一、線段最長、面積最大，利用“二次函數(shù)的最值”解決

例1（2011山東威海）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）.點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D.點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值.

略解：易求拋物線表達(dá)式為y=x2+2x-3，直線CD的表達(dá)式為y=-x+5.設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+5），G點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t2+2t-3）.

因?yàn)辄c(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，

所以-3≤t≤1.

變式2：如圖2，點(diǎn)G在何處時(shí)，△GDC的面積最大？

分析1：由于CD為定值，所以高GS最大時(shí)，面積最大.

分析2：要高GS最大，可平移直線CD，當(dāng)其與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)交點(diǎn)即為所求點(diǎn)G.

分析3：過C、D兩點(diǎn)作GH的垂線段，將△GDC重新分割組合，則有：

求線段最長和面積最大，關(guān)鍵在于將其表示出來，再用二次函數(shù)最值解決.

二、線段之和最小，線段之差最大，利用“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”解決

分析：本題本質(zhì)即為已知點(diǎn)C、點(diǎn)D在x軸同側(cè)，在x軸上找一點(diǎn)M，使MC＋MD最短.作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC＋MD的值最小.求直線C′D的解析式，進(jìn)而可求點(diǎn)M坐標(biāo).

變式1：如圖3，在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使△EAC的周長最小，并求其值及點(diǎn)E的坐標(biāo).

分析：使△EAC的周長最小，即AC+CE+EA的值最小，而線段AC長度不變，從而轉(zhuǎn)化成兩條線段之和最小.題中易找到點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B，所以連BC，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)E.此時(shí)，CE＋EA=CE＋EB=BC.線段AC和BC可用勾股定理求出，從而可求出△EAC的周長最小值.求直線BC的解析式，即可得點(diǎn)E坐標(biāo).

變式2：點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，在直線AC上找點(diǎn)P，使四邊形BNDP的周長最短，并求點(diǎn)P的坐標(biāo).

變式3：如圖3，在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)F，使點(diǎn)F到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離之差最大，并求點(diǎn)F的坐標(biāo).

分析：由點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可知FA=FB，要使得FBFC的值最大，即是使得FA-FC的值最大.根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)點(diǎn)A、C、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，其差值最大，所以過點(diǎn)A、C的直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)F，則該點(diǎn)即為所求.

變式4：如圖4，點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為N，AG∥BN交直線BC于點(diǎn)G，若點(diǎn)P，點(diǎn)Q為直線BC、BN上的兩動(dòng)點(diǎn)，連NP、PQ、QG，求這三條線段和的最小值.

分析：由點(diǎn)A、N關(guān)于直線BC對(duì)稱可知NP＋PQ的最小值為AQ，而AQ＋QG的最小值，則可找點(diǎn)G關(guān)于BN的對(duì)稱點(diǎn)G′，連AG′，交BC、BN的交點(diǎn)即為所求的P、Q點(diǎn)的位置，最小值為AG′的長，在直角三角形AGG′中用勾股定理可求.

求線段和最小及差最大，題中的拋物線只是一個(gè)載體，本質(zhì)是利用軸對(duì)稱將多線段轉(zhuǎn)化在一條直線上求最大（小）值的問題.