盤(pán)點(diǎn)近幾年中考中與線段相關(guān)的一類(lèi)最值問(wèn)題

☉浙江省上虞市竺可楨中學(xué) 徐 駿

近年來(lái)，與線段相關(guān)的一類(lèi)最值問(wèn)題在各地市中考試卷中大量涌現(xiàn)，并成為近幾年中考的熱點(diǎn)題型之一.這類(lèi)問(wèn)題對(duì)知識(shí)和技能要求較高，能夠考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力與創(chuàng)新意識(shí).解決此類(lèi)問(wèn)題主要借助以下3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；（3）直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.筆者結(jié)合近幾年中考數(shù)學(xué)試題，對(duì)于常見(jiàn)的線段最值問(wèn)題，歸納為以下幾大塊，以幫助學(xué)生掌握這類(lèi)問(wèn)題的求解方法.

1.一條線段的最值問(wèn)題

1.1 求一條線段的最大值

例1 如圖1，邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連接OC，則OC的長(zhǎng)的最大值是_______.

1.2 求一條線段的最小值

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B.點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度也在發(fā)生變化，請(qǐng)寫(xiě)出線段AB長(zhǎng)度的最小值，并說(shuō)明理由.

分析 連接OP（如圖4），因?yàn)锳B切⊙O于P，所以O(shè)P⊥AB.取AB的中點(diǎn)C，則AB=2OC.當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí)AB=4，所以線段AB長(zhǎng)度的最小值為4.

例3 如圖5，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是（ ）.

分析 設(shè)M（a，b），則ab=-1.由（a+b）2=a2+2ab+b2≥0，得a2+b2≥-2ab=2.由中心對(duì)稱性知，MN=2OM=2，所以線段MN的長(zhǎng)的最小值

2.兩條線段的最值問(wèn)題

2.1 求兩條線段和的最小值

例5 如圖8，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_______.

分析 如圖9，作點(diǎn)N關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接BN′，則BM+MN=BN′的值最小.過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，BE=AB·sin45°=4.當(dāng)BN′=BE時(shí)，BN′最短，即BM+MN的值最小，所以BM+MN的最小值是4.

2.2 求兩條線段差的最大值

例6已知：如圖10，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連接MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO.已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)T，使得TO-TB的值最大.

3.三條線段的最值問(wèn)題

例7 如圖12，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說(shuō)明理由.

分析 如圖13，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小.理由如下：連接MN，由∠MBN=60°，BM=BN知，△BMN是等邊三角形，則BM=MN.易證△ABM≌△EBN，則AM=EN.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得AM+BM+CM=EN+MN+CM=EC最短，所以當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).

4.三角形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題

5.四邊形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題

例9 如圖16，將兩張長(zhǎng)為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的周長(zhǎng)有最小值8，那么菱形周長(zhǎng)的最大值是_______.

例10 如圖18，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處.在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小.理由如下：如圖19，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)分別為所求點(diǎn)M、N，使四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小.而E′（3，-1）、F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′，所以BF′=4，BE′=3，所以FN+NM+ME=FN+NM+ME′=F′E′=

6.幾何體側(cè)面上的一類(lèi)最值問(wèn)題

例11 如圖20，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要____cm；如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要________cm.

分析 長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為8cm，寬為6cm的矩形.如圖21，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要需要4cm；依次類(lèi)推，如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要n

例12 問(wèn)題探究：

（3）如圖27所示，在（2）的條件下，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程.