中考數(shù)學(xué)組合型開放題探析

☉江蘇省靖江市第三中學(xué) 沙詠蕾

“體現(xiàn)新課標(biāo)，提供新材料，追求新創(chuàng)意，提出新問題”是近年各省市中考數(shù)學(xué)命題的新特征.組合型開放題因能較好地反映這些新特征而備受命題者的青睞.所謂組合型填空題，就是給出若干個(gè)論斷要求學(xué)生將其重新組合，使其構(gòu)成符合題意的命題.解這類題，要求學(xué)生對所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系有一個(gè)透徹的理解和掌握，通過對題目的閱讀、理解、分析、比較、綜合、抽象和概括，用歸納、演繹、類比等推理方法準(zhǔn)確地闡述自己的觀點(diǎn)，理清思路，進(jìn)而完成組合順序.這種組合型開放題，已使幾何的論證轉(zhuǎn)向發(fā)現(xiàn)、猜想和探究，從而促進(jìn)學(xué)生生動(dòng)活潑、主動(dòng)的學(xué)習(xí)，并使中考試題充滿活力和魅力，它對今后的課程改革將起著一個(gè)良好的導(dǎo)向作用.

下面從近幾年的中考試卷中擷取幾例，加以分析，供讀者參考.

例1 如圖1，在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)論斷：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE.請以其中的三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題是____（用序號的形式寫出）.

答案：可以構(gòu)成四個(gè)命題：①②③?④；①③④?②；①②④?③；②③④?①.其中兩個(gè)是正確的，兩個(gè)是錯(cuò)誤的，填寫一個(gè)正確的命題是：①③④?②（或①②④?③）.

例2 如圖2，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，連接AE、BE，給出下列五個(gè)關(guān)系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB.將其中的三個(gè)關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題.

（1）用序號寫出一個(gè)真命題（書寫形式為：如果×××，那么××），并給出證明；

（2）用序號再寫出三個(gè)真命題（不要求證明）；

（3）加分題：真命題不止以上四個(gè)，想一想，就能夠多寫出幾個(gè)真命題，每多寫出一個(gè)真命題就給你加1分，最多加2分.

評析：本題是一道條件和結(jié)論都開放的綜合型組合題，充分考查了學(xué)生對幾何知識(shí)點(diǎn)的整合能力，洞察能力和證明過程的嚴(yán)密性.解答此題既是一個(gè)再學(xué)習(xí)的過程、一個(gè)探索的過程、一個(gè)用數(shù)學(xué)的過程，又是學(xué)生展示能力和實(shí)力的過程，它對學(xué)生能力要求較高.第（3）小題實(shí)行了評分標(biāo)準(zhǔn)的開放性，極大地鼓舞了學(xué)生去勇于探索，不斷創(chuàng)新.

本試題的條件和結(jié)論的開放，評分標(biāo)準(zhǔn)的開放，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念：“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”實(shí)現(xiàn)了“課標(biāo)”所提出的評價(jià)理念：“評價(jià)的手段和形式應(yīng)多樣化”，要充分“發(fā)揮評價(jià)的激勵(lì)作用”，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探索，產(chǎn)生更具創(chuàng)意的結(jié)果，讓學(xué)生有更多的發(fā)展.

解答：（1）從條件①、②、③、④、⑤中選取3個(gè)作題設(shè)，另外2個(gè)作結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)真命題，經(jīng)嘗試、探索可得：如果①②③，那么④⑤.

證明：如圖3，延長AE交BC的延長線于F.

因AD∥BC，故∠1=∠F.

又∠AED=∠CEF，DE=CE，所以△ADE≌△FCE，AD=CF，AE=EF.

因∠1=∠F，∠1=∠2，故∠2=∠F，AB=BF.

因AB=BC+CF=BC+AD，即⑤成立.

故AE=FE，∠2=∠F，AB=BF，所以△ABE≌△FBE.

故∠3=∠4，即④成立.

（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤；如果①③⑤，那么②④.

（3）本小題答案不唯一，寫出的命題為真命題的還有：如果①②⑤，那么③④；如果②④⑤，那么①③等.

例3 如圖4，下面四個(gè)條件中，請你以其中兩個(gè)為已知條件，第三個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確命題.（只需寫出一種情況）

①AE=AD，②AB=AC，③OB=OC，④∠B=∠C.

評析：本題是以學(xué)生常見的基本圖形為載體，把傳統(tǒng)的幾何證明題，設(shè)計(jì)成一個(gè)要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的組合開放題，讓學(xué)生通過觀察——發(fā)現(xiàn)的思維過程，自主探索，發(fā)現(xiàn)有意義的結(jié)論，積極創(chuàng)設(shè)思考空間，增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，養(yǎng)成了學(xué)生“觀察——猜想——驗(yàn)證”正確的科學(xué)態(tài)度.

解答：本題的答案不唯一，正確的命題有：①②?③；①②?④；①④?②；①④?③；③④?①；③④?②；②④?①；②④?③共8個(gè)命題，從中任選一個(gè)證明即可.例如，證明命題①②?④.

“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，組合型開放題因能充分體現(xiàn)這一新課程理念而成為最近幾年中考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.它改變了過去直接給出結(jié)論，讓考生去證明的固定的模式，激活了考生的思維.它啟迪了我們：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)習(xí)知識(shí)和方法，更要勤于思考，多探究，關(guān)注“過程”，從而體驗(yàn)創(chuàng)造的樂趣，做學(xué)習(xí)的主人.