關于三角形“四心”距離的討論

☉石河子大學師范學院課程與教學系 劉 超

三角形的“四心”即重心、垂心、內心和外心.通過查閱近幾年中學數學類雜志刊發的有關三角形“四心”的論文資料發現，已有的關于三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文擬在已有研究的基礎上，探討三角形“四心”的距離問題.

不失一般性，假設△ABC的外接圓的半徑為R，內切圓的半徑為r.記△ABC的周長的一半為s，△ABC的面積為Q，用點I，O，G，H分別表示△ABC的內心、外心、重心、垂心.以上述條件為基礎，我們來分別求OI，OG，HI，GI，即“四心”之間的距離，并探討其應用.

首先證明在求“四心”距離時要用到的兩個恒等式.

證明：

在此基礎上，給出“四心”之間的距離.

（1）外心與內心之間的距離.

如圖1所示，設OI=d，由∠AIF=α+β=∠FAI，得AF=IF.由

（2）外心與重心之間的距離.

如圖1所示，

（3）內心與垂心之間的距離.

（4）重心與內心之間的距離.

如圖1所示，