不等式中的方案設計問題

☉湖北省孝感市文昌中學 羅小倩

近幾年的中考數學中，經常出現以不等式為背景的方案設計問題.下面列舉幾例，供學習時參考.

1.購票的方案設計

例1 2008年8月，北京奧運會帆船比賽將在青島國際帆船中心舉行.觀看帆船比賽的船票分為兩種：A種船票600元/張，B種船票120元/張.某旅行社要為一個旅行團代購部分船票，在購票費不超過5000元的情況下，購買A，B兩種船票共15張，要求A種船票的數量不少于B種船票數量的一半.若設購買A種船票x張，請你解答下列問題：

（1）共有幾種符合題意的購票方案？寫出解答過程.

（2）根據計算判斷：哪種購票方案更省錢？

（2011年山東省青島市）

解：（1）由題意：

因為x為整數，所以x＝5，6.

所以共兩種購票方案：

方案一：A種船票5張，B種船票10張；

方案二：A種船票6張，B種船票9張.

（2）因為，第一種方案的票費為：5×600＋120×10＝4200（元）；

第二種方案的票費為：6×600＋120×9＝4680（元）；

所以，第一種方案更合算.

2.進貨的方案設計

例2 某超市銷售有甲、乙兩種商品，甲商品每件進價10元，售價15元；乙商品每件進價30元，售價40元.

（1）若該超市同時一次購進甲、乙兩種商品共80件，恰好用去1600元，求：能購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2）該超市為使甲、乙兩種商品共80元的總利潤（利潤=售價-進價）不少于600元，但又不超過610元，請你幫助該超市設計相應的進貨方案.

（2008年遵義市）

解：（1）甲商品進了x件，則乙種商品進了80-x件，依題意得：

10x+（80-x）×30=1600，解得：x=40.

即甲種商品進了40件，乙種商品進了80-40=40件.

（2）設購買甲種商品為x件，則購買乙種商品為（80-x）件，依題意可得：

600≤（15-10）x+（40-30）（80-x）≤610.

解得：38≤x≤40.

即有三種方案，分別為甲38件，乙42件或甲39件，乙41件或甲40件，乙40件.

3.租車的方案設計

例3 2008年5.12四川地震后，懷化市立即組織醫護工作人員趕赴四川災區參加傷員搶救工作.擬派30名醫護人員，攜帶20件行李（藥品、器械），租用甲、乙兩種型號的汽車共8輛，日夜兼程趕赴災區.經了解，甲種汽車每輛最多能載4人和3件行李，乙種汽車每輛最多能載2人和8件行李.

（1）設租用甲種汽車x輛，請你設計所有可能的租車方案；

（2）如果甲、乙兩種汽車的租車費用每輛分別為8000元、6000元，請你選擇最省錢的租車方案.

（2010年河南鄭州市）

解：（1）因為租用甲種汽車為x輛，則租用乙種汽車（8-x）輛.

即共有兩種租車方案：

第一種是租用甲種汽車7輛，乙種汽車1輛；

第二種是全部租用甲種汽車8輛.

（2）第一種租車方案的費用為7×8000+1×6000=62000（元）.

第二種租車方案的費用為8×8000=64000（元）.

所以，第一種租車方案最省錢.

例4 榮昌公司要將本公司100噸貨物運往某地銷售，經與春晨運輸公司協商，計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共6輛，用這6輛汽車一次將貨物全部運走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸.已知租用1輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元；租用2輛甲型汽車和1輛乙型汽車共需費用2450元，且同一種型號汽車每輛租車費用相同.

（1）求租用一輛甲型汽車、一輛乙型汽車的費用分別是多少元.

（2）若榮昌公司計劃此次租車費用不超過5000元.通過計算求出該公司有幾種租車方案？請你設計出來，并求出最低的租車費用.

（2008年黑龍江哈爾濱市）

解：（1）設租用一輛甲型汽車的費用是x元，租用一輛乙型汽車的費用是y元.

答：租用一輛甲型汽車的費用是800元，租用一輛乙型汽車的費用是850元.

（2）設租用甲型汽車z輛，則租用乙型汽車（6-z）輛.

解得2≤z≤4.

由題意知，z為整數，則z=2或z=3或z=4.

故共有3種方案，分別是：

方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；

方案二：租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛；

方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛.

方案一的費用是800×2+850×4=5000（元）；

方案二的費用是800×3+850×3=4950（元）；

方案三的費用是800×4+850×2=4900（元）.

所以最低運費是4900元.

答：共有3種方案，分別是：

方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；

方案二：租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛；

方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛.

最低運費是4900元.

4.汽車調度的方案設計

例5 某物流公司，要將300噸物資運往某地，現有A、B兩種型號的車可供調用，已知A型車每輛可裝20噸，B型車每輛可裝15噸，在每輛車不超載的條件下，把300噸物資裝運完，問：在已確定調用5輛A型車的前提下至少還需調用B型車多少輛？

（2011年永州市）

解：設還需要B型車x輛，根據題意，得：

20×5+15x≥300.

由于x是車的數量，應為整數，所以x的最小值為14.

答：至少需要14臺B型車.