利用圖像解決與二次函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題

☉河南省開(kāi)封市第十四中學(xué) 劉 震

初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，這些內(nèi)容是高中學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)并沒(méi)有再安排二次函數(shù)的課題，二次函數(shù)的內(nèi)容穿插到各章節(jié)之中，遇到的問(wèn)題比初中復(fù)雜，難度變大，學(xué)生感到困難.這里向同學(xué)們介紹怎樣通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，利用二次函數(shù)的圖像解決與二次函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題.

一、利用配方法和圖像求二次函數(shù)的值域及其變式

例1已知f（x）=x2-4x-4，x∈［0，3］.

求函數(shù)的值域.

解：f（x）=（x-2）2-8，畫(huà)出函數(shù)的圖像.

如圖1，觀察圖像知：

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最大值f（0）=-4；

當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有最小值f（2）=-8.

故函數(shù)的值域?yàn)椋?8，-4］.

說(shuō)明：解決上述問(wèn)題的步驟是：①配方；②本著先虛（定義域外）后實(shí)（定義域內(nèi)）的原則畫(huà)出圖像；③根據(jù)上大下小的原則確定函數(shù)的值域.

例2 已知二次方程x2-4x-4-a=0在［0，3］上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解：由Δ=（-4）2-4×1×（-4-a）≥0，得a≥-8.

這是因?yàn)樯鲜鼋夥ㄖ槐ＷC方程有解，不保證解在［0，3］內(nèi).

正解：原方程在［0，3］上有解?x∈［0，3］時(shí)，函數(shù)a=x2-4x-4的值存在.

由例1知a∈［-8，-4］.

例3 已知對(duì)任意x∈［0，3］，x2-4x-4-a＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：由原不等式得a＜x2-4x-4.

設(shè)t=x2-4x-4，x∈［0，3］，

由例1知t∈［-8，-4］.

又對(duì)任意x∈［0，3］，a＞t恒成立，

故a＞-4.

例4已知f（x）=x2-4x-4，x∈［t，t+1］.若f（x）的最小值為g（t），求g（t）的解析式.

解：f（x）=（x-2）2-8.

（1）當(dāng)t＜1時(shí)，t+1＜2，觀察圖像知：

g（t）=f（t+1）=（t+1）2-4（t+1）-4=t2-2t-7.

（2）當(dāng)1≤t≤2，t+1≥2，觀察圖像知g（t）=-8.

（3）當(dāng)t＞2時(shí)，觀察圖像知：

g（t）=f（t）=t2-4t-4.

二、利用圖像解決與二次函數(shù)性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題

例5函數(shù)f（x）=x2-2ax-3在區(qū)間［1，2］上存在反函數(shù)的充要條件是（ ）.

A.a∈（-∞，1］ B.a∈［2，+∞）

C.a∈［1，2］ D.a∈（-∞，1］∪［2，+∞）

解：f（x）=（x-a）2-a2-3.

（1）當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸直線x=a在區(qū)間［1，2］的左側(cè)，即x≤1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸直線x=a在區(qū)間［1，2］的右側(cè)，即x≥2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

故f（x）在［1，2］上存在反函數(shù)的充要條件是a∈（-∞，1］∪［2，+∞），選D.

例6如果函數(shù)f（x）=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（1），f（2），f（4）從大到小的排序?yàn)開(kāi)_____.

解：由f（2+t）=f（2-t），

知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.

畫(huà)出函數(shù)的圖像如圖2，觀察圖像知：

說(shuō)明：設(shè)f（x）是二次函數(shù)，

三、利用圖像解決一元二次方程根的分布問(wèn)題

例7已知二次函數(shù)f（x）=2（k+1）x2-（k2-3）x-（k-1）的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)分別在點(diǎn)（-1，0）的兩側(cè)，求k的取值范圍.

解：（1）當(dāng)2（k+1）＞0時(shí)，y=f（x）的圖像如圖3所示，需滿足f（-1）＜0.

（2）當(dāng)2（k+1）＜0時(shí)，y=f（x）的圖像如圖4所示，需滿足f（-1）＞0.

綜合（1）（2）知，k＜-1或-1＜k＜0.

例8 方程x2-6x+4a2-3=0有絕對(duì)值不大于1的實(shí)數(shù)解，求其中a的取值范圍.

解：設(shè)f（x）=x2-6x+4a2-3，使f（x）=0.

有根x∈［-1，1］，注意對(duì)稱軸方程為直線x=3.

畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的圖像如圖5所示，則它與x軸在對(duì)稱軸左側(cè)的交點(diǎn)位于［-1，1］內(nèi).

說(shuō)明：一元二次方程的根的分布問(wèn)題在形上的體現(xiàn)就是拋物線與x軸交點(diǎn)的位置問(wèn)題.

四、綜合應(yīng)用

例9 已知函數(shù)y=x2-2ax+a2-1在［0，1］上為減函數(shù)，問(wèn)當(dāng)a取何值時(shí)，在［0，1］上y＞0恒成立.

解：由y=x2-2ax+a2-1配方得y=（xa）2-1，對(duì)稱軸方程為x=a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-1）

（1）要使x∈［0，1］時(shí)f（x）是減函數(shù)，需函數(shù)y=f（x）的圖像如圖6所示，則對(duì)稱軸在直線x=1或直線x=1的右側(cè)，需滿足a≥1；

（2）要使x∈［0，1］上f（x）＞0恒成立，注意在a≥1的條件下，函數(shù)y=f（x）的圖像如圖7所示，需使f（1）＞0，即1-2a+a2-1＞0，解得a＜0或a＞2.故a＞2為所求.

練一練：

1.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，已知f（x）=0的兩根分別在區(qū)間（1，2）和（2，3）.則（ ）.

A.f（1）f（2）＞0B.f（1）f（2）＜0

C.f（1）f（3）＜0D.f（2）f（3）＞0

答：B

2.已知f（x）=4x2-4ax+a2-2a+2在區(qū)間［0，2］上有最小值3，求實(shí)數(shù)a的取值的集合.

（1） 當(dāng)a＜0時(shí)，f （x）min=f （0）=a2-2a+2使a2-2a+2=3， 得a=1-

（3）當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）min=f（2）=a2-10a+18，使a2-10a+18=3，得a=