用數值代入的方法證明平面幾何題

☉上海市新黃浦實驗學校 許 敏

平面幾何中的證明題很多可以用數值代入的方法去證明，其基本思想是這樣的：首先將幾何證明中的點的坐標用符號來表示，然后將幾何條件轉化為代數求解問題，最后對給定的符號用具體的數值來代替，從而達到證明的目的.

1.將幾何證明問題轉化為代數問題

例1 證明正方形的對角線互相垂直平分.

分析：首先設定正方形的四個頂點的坐標，假設已知正方形ABCD以AD為x軸，以AB為y軸，邊長為a，則A、B、C、D坐標分別為A（0，0），B（0，a），C（a，a），D（a，0）.則直線AC的解析式為y=x，直線BD的解析式為y=a-x.證明對角線互相垂直平分，則需要證明|AE|=|EC|，|BE|=|ED|，而且AC⊥BD.因此，該幾何證明題可轉化為代數問題為：

1.證明直線AC與直線BD垂直：直線AC和BD的斜率都可表示為關于a的表達式，接著證明兩斜率的乘積為-1.

2.|AE|=|EC|，|BE|=|ED|：線段AE、EC、BE、ED的長度都可以轉化為關于a的表達式，然后來證明其對應的關于a的代數表達式的等號左右兩邊相等.

以上用這個例子來說明如何將幾何問題轉化為代數問題，并且闡述如何用代數的方法來解幾何問題.對于簡單的幾何問題，它所涉及的符號比較少，如例1，我們只需要設一個符號就可以把其余的點的坐標表示出來.但是，對于很多幾何問題，它所涉及的符號太多，在推理以及計算過程中非常復雜，如果用例1的方法來處理將十分困難，接下來我們討論如何用具體數值代入的方法來證明幾何題.

2.具體數值代入法

具體數值代入法是將代數問題中出現的符號直接用隨機取的數值代入進行計算和證明.我們用下面的例子來描述該方法.

例2 證明三角形三條中線交于一點.

例3 平行四邊形對角線互相平分.