回歸經驗模型調姿拓本溯源

☉湖南省常德市芷蘭實驗學校 陳金紅

解題不僅是求解，更是思維過程的揭示；解題不僅是尋找答案，更需要的是“自覺分析”；解題分析不僅是數學學習的方法，更是一種理念；解題學習不僅是接受一種方法和思想，更是認識的補充、完善、提高與通俗化解讀的過程.對一道初中背景的難題，盡管有些資料提供了思路，但分析粗糙復雜化了，為使初中生都搞得懂，本文就如何揭示、完善、通俗化再探如下.

題目：在兩個三角形的六對元素（三對角與三對邊）中，即使有五對元素對應相等，這兩個三角形也未必全等.

⑴試給出一個這樣的例子，畫出簡圖，分別標出兩個三角形的邊長.

⑵為了把所有這樣的反例都構造出來，試探求并給出構造反例的一般規律（要求過程完整，述理嚴密，結論明晰）.

再探 數學新課標把“雙基”（基礎知識、基本技能）變“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），其中把積累數學基本活動經驗提到一個非常高的高度，是一種認識論的回歸，因為活動經驗確確實實在我們的工作中起到暗示、點撥的功效！

一、全等反例經驗模型

受原型“已知兩邊及一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等”（簡稱SSA）啟發：見圖1，在△ABC與△ABD中，AD=AC、AB=AB、∠ABD=∠ABC，已經有三對元素對應相等了；再從角的添加入手：若能使∠BAD=∠ACB，那一定就有∠ADB=∠BAC了！從而好像有“五對元素對應相等，這兩個三角形也不全等”！

但細看發現：由AD=AC?∠ADC=∠ACB=∠BAD?AB∥BC，出現矛盾！宣告嘗試失敗！

二、相似特殊經驗模型

由上失敗故轉而分步使條件由少到多推進展開探究，退回到非全等的相似模型如圖2，在Rt△ABC與Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，∠BAC=∠ADC=α，此時這兩個三角形相似了，于是有三個角、一條邊（AC=AC）四個元素對應相等了，在此基礎上只需再添一條邊如BC=CD就符合要求了！

先由Rt△ABC∽Rt△DCA可得：

三、一般相似模型

由分析特殊相似模型得到啟發，五個相等元素中不可有三邊對應相等的條件，故從角元素入手、邊由少到多推進的辦法探討一般相似模型：見圖3，△ABC與△DEF中，已有三角對應相等.

四、一般線索的本質

從而有：∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F；AB=EF、BC=DF，但AC≠DE（m≠x）.

五、兩個注腳

綜合知：如果“五對元素（3對角元素、2對邊元素）對應相等，這兩個三角形也不全等”，那么這兩個三角形必相似，并且每個三角形中較大邊是其他兩邊的比例中項.

確實正如波利亞所言：沒有任何問題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平.當然在這個“節省解題力量、開發解題智慧”的過程中，我以為運用“回歸經驗模型，調姿拓本溯源”不失為一大良策！

1.黃玉華.在數學解題中試行波利亞“怎樣解題表”的做法和體會.中學數學教學參考（初中）.2010年第1-2期.

2.陳金紅.不要放棄更初等的想法.中學數學教學參考（初中）.2012年第1-2期.