例析“三線”問題中的數學思想

☉江蘇高郵市龍虬初中 王麥香

例析“三線”問題中的數學思想

☉江蘇高郵市龍虬初中 王麥香

“三線”（線段、射線、直線）是最基本的幾何圖形，是學好幾何知識的重要基礎，它們的應用十分廣泛，對于初學者來說也是一個難點.因此同學們在學習時，不僅要理解概念，靈活運用，還應當體會其中所蘊含的數學思想方法.

一、數形結合思想

例1 在數軸上的點A、B位置如圖1所示，則線段AB的長度為（ ）.

圖1

A.-3 B.5 C.6 D.7

解：線段AB的長度就是點A與點B分別到原點的距離之和，即2的絕對值與-5的絕對值之和，故答案選D.

評注：這道例題既考查了線段的和、差關系，又反映數軸與絕對值的幾何意義，充分體現了數形結合的思想.

二、分類討論思想

例2 已知線段AB=8cm，在直線AB上有一點C，且BC=4cm，M是線段AC的中點，求線段AM的長.

評注：分類討論思想方法是初中數學的重要內容，漏掉第二解是本題最容易出錯的地方，要全面考慮C點是在線段AB上，還是在AB的延長線上，對所出現的位置關系進行討論.同時要認識到本題最根本的錯因是未分清“線段AB”和“直線AB”兩個概念，因此，同學們今后要在基本概念的準確性上下功夫.

三、轉化思想

例3 如圖4，是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，在A處有一塊爆米花殘渣，一只螞蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點.請你結合圓錐的側面展開圖，設計一條最短路線.

解：將圓錐體的側面的展開如圖5所示，點A是弧線的中點，連接EA，那么線段EA就是螞蟻爬行的最短路線.

評注：在立體圖形中研究兩點之間的最短路徑時，通常把立體圖形的表面展開，轉化為平面圖形中的兩點間的距離問題.

四、歸納思想

例4如圖6所示.（1）當直線上有4個點時，數一數共有幾條不同的線段.（2）當直線上有n個點時，想一想共有幾條不同的線段.

解：（1）圖中有6條線段，按照一定順序依次數，分別是線段AC、線段AD、線段AB、線段CD、線段CB、線段DB.

圖6

評注：本題要按照一定的順序進行計數，要求做到不能重復和漏數，找出計數的規律，歸納出計數公式，這個公式同樣適用于數角、數交點等等，同學們不妨試試.

五、方程思想

例5 如圖7，B、C兩點把線段AD分成2∶3∶4三部分，M是線段AD的中點，CD=8，求MC的長.

圖7

評注：本題在求解線段的長度時，通過設出未知數，根據已知與未知之間的等量關系，用方程解決問題，體現了方程的思想.使實際問題方程化，這一思想方法是初中數學常用方法，同學們在今后的學習中將漸漸體會到.