例析數形結合思想的綜合應用

☉河南汝州市第四初級中學 怯松林

例析數形結合思想的綜合應用

☉河南汝州市第四初級中學 怯松林

數形結合思想是數學中重要的思想方法，數學家華羅庚說得好：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離.”這句話說明了“數”與“形”是緊密聯系的.所謂數形結合就是根據數學問題的題設和結論之間的內在聯系，既分析其數量關系，又揭示其幾何意義使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并充分地利用這種結合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思考方法.以下舉例談談數形結合思想在方程、不等式、函數等方面的應用.

一、數形結合思想在方程、不等式中的應用

在平面直角坐標系內，可以借助于一次函數所對應的圖像——直線，直觀地解決一元一次方程、一元一次不等式組、二元一次方程組的問題，下面結合例題加以說明.

1.利用圖像解一元一次方程

例1 利用函數圖像解方程3x-6=0.

分析：在坐標系中先畫方程所對應的一次函數y=3x-6的圖像，由于解析式中函數值y就是圖像上點的縱坐標y，當y=0時，對應圖像上縱坐標等于0的點，也就是與x軸的交點，這個點的橫坐標就是我們要求的方程的解.

解：在坐標系中畫出直線y=3x-6，如下圖.

從圖像可以看出直線y=3x-6與x軸交點的橫坐標為2.

所以原方程的解為x=2.

2.利用圖像解一元一次不等式組

例2 如上圖，直線y=kx+b經過點A（-1，-2）和點B（-2，0），直線y=2x過點A，則不等式2x＜kx+b＜0的解集為（ ）.

A.x＜-2 B.-2＜x＜-1 C.-2＜x＜0 D.-1＜x＜0

解：本題直接從圖像上觀察，直線y=kx+b和直線y=2x的交點為A（-1，-2），確定直線y=kx+b在直線y=2x上方的范圍：x＜-1.再觀察直線y=kx+b的圖像與x軸的交點為B（-2，0），確定此圖像在x軸下方的范圍：x＞-2.故選擇B答案.

3.利用函數圖像解方程組

例3 如圖，直線l1：y=x+1與直線l2：y=mx+n相交于點P（1，b）.（1）求b的值；

解：（1）因為（1，b）在直線y=x+1上，

所以當x=1時，b=1+1=2.

（2）如圖所示，由圖像知l1和l2的交點為P（1，2）.

注意：用數形結合思想解方程（組）與不等式，關鍵是構造它們所對應的一次函數，再利用一次函數的圖像就可以說明結果.圖像解法與它們的傳統解法相比，往往不夠方便，而且由于圖像的誤差常常導致求解的結果一般還不準確，但這種解法，集中體現了數形結合的思想和知識的內在聯系.在日常生活中，象這種直觀解決問題的方法也非常多見，它是一種很重要的能力，因此，同學們應該重視相關知識的學習，掌握這種利用數形結合思想求解問題的方法.

二、數形結合思想在函數中的應用

1.利用反比例函數圖像比較大小

分析：解此題最直接的思路是將已知點的橫坐標分別代入解析式，求出各個點的縱坐標再進行比較，但本題并沒有給出比例系數k的取值，因而要根據函數的圖像性質，確定三個點落在雙曲線上的位置來確定大小.

解：因為k＜0，反比例函數的圖像在三、四象限，畫出大致的圖像，根據A、B、C三點在圖像上的位置，很容易看出b＞a＞c.

2.利用一次函數圖像比較租車費用

例5 某單位急需用車，但又不準備買車，他們準備和一個個體車主或一出租公司其中的一家簽定月租車合同，設汽車每月行駛xkm，應付給個體車主的月費用是Y1元，應付給出租公司的月費用是Y2元，Y1、Y2分別與x之間的函數關系圖像如上圖，觀察圖像回答下列問題：

（1）每月行駛的路程在什么范圍內，租公司的車合算？

（2）每月行駛的路程等于什么時，租兩輛車的費用相同？

（3）如果這個單位每月行駛的路程為2300km，那么這個單位租哪家的車合算？

分析：這是一道一次函數的應用問題，數形結合的思想在本題中有很好的體現.函數圖像在上方的說明它的函數值較大，反之較小，當然，兩圖像相交時，說明在交點處的函數值是相等的.

解：（1）由圖像可知，直線Y2的圖像在直線Y1的圖像下方的范圍是：0＜x＜1500，所以每月行駛的路程在0＜x＜1500范圍內，租公司的車合算

（2）直接觀察圖像，當每月行駛的路程等于1500時，租兩輛車的費用相同.

（3）由圖像可知，直線Y2的圖像在直線Y1的圖像上方的范圍是：x＞1500，所以當每月行駛的路程為2300km，租個體車主合算

3.利用二次函數圖像求系數的范圍

例6 如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點A在點（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內部）的一個動點，則a的取值范圍是__________.

分析：這是一道典型的數形結合解函數型綜合題，較好地體現了“以數解形、以形助數”的方法理念，正確運用二次函數的性質：增減性、對稱性、最大值等.

解：仔細觀察圖像，a的取值范圍分兩種情況討論：

4.利用二次函數圖像解綜合試題

分析：仔細觀察拋物線的位置走向、關鍵點的位置坐標，以及解析式中各個系數與圖形性質的對應關系，再做出相應的判斷.

解：①由圖像開口方向可知，a＜0.

②因為拋物線經過點（-1，0），由拋物線的對稱性可知，當x＝1時，有y＞0，即有a+b+c＞0.

故正確的結論是①②③.

例8 如圖，點G、D、C在直線a上，點E、F、A、B在直線b上，若a∥b，Rt△GEF從如圖所示的位置出發，沿直線b向右勻速運動，直到EG與BC重合.運動過程中△GEF與矩形ABCD 重合部分的面積（S）隨時間（t）變化的圖像大致是（ ）.

解：這是一道綜合性很強的識圖題，要分析動態△GEF與矩形ABCD重合的各種情況.①有的考生錯選A，沒有考慮從出發到F點與A點重合，這時間段重合部分面積S為0；②從F點與A點重合，直到EG與AD重合，重合部分為三角形，此三角形與△GEF相似，可以用t來表示重合三角形的邊長，從而求出面積S應為關于t的二次函數，且開口向上；③繼續沿直線b向右勻速運動，直到EG與BC重合，運動過程中△GEF與矩形重合部分為直角梯形，同樣可以用t表示直角梯形的邊長，求出面積S為關于t的二次函數，且開口向下.綜合觀察，整個變化過程中面積（S）隨時間（t）變化的圖像大致是B答案.