巧解拋物線變換問題

☉江西會昌實驗學校 李 揚

巧解拋物線變換問題

☉江西會昌實驗學校 李 揚

一、拋物線的平移變換

例1 （2011·重慶市江津區）將拋物線：y=x2-2x向上平移3個單位，再向右平移4個單位得到的拋物線是__________.

巧解方法：直接在一般式的自變量和因變量上分別進行“左加右減”和“上加下減”.

解：用x-4代替解析式中的x，并對其中的y（即原等式右邊）加上3，就得到解析式：y=（x-4）2-2（x-4）+3，展開并整理得y=x2-10x+27.

故答案為：y=x2-10x+27.

點評：本題主要考查的是函數圖像的平移，用平移規律“左加右減，上加下減”直接代入函數解析式求得平移后的函數解析式.

二、拋物線的翻折與旋轉變換

（1）請直接寫出拋物線c2的表達式.

（2）現將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A，B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D，E.①當B，D是線段AE的三等分點時，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

方法：拋物線y=ax2+bx+c若沿x軸翻折，所得圖像的函數解析式只需將原函數解析式中的y換成-y，即y=-ax2-bx-c；若沿y軸翻折，所得圖像的函數解析式只需將原函數解析式中的x換成-x，即y=ax2-bx+c.

分析：（1）根據拋物線翻折的性質可求拋物線c2的表達式.

1時，當AB=AE時兩種情況討論求解；②存在.理由：連接AN，NE，EM，MA.根據矩形的判定即可得出.

圖1

圖2

圖3

②存在.

所以四邊形ANEM為平行四邊形.

要使平行四邊形ANEM為矩形，必需滿足OM=OA，

所以當m=1時，以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形.

點評：本題是二次函數的綜合題型，考查了拋物線翻折和平移的性質，平行四邊形和矩形的判定，注意分析題意分情況討論結果.

例3 求拋物線y=x2+2x+3經過下列變換后的拋物線的解析式：（1）繞其頂點旋轉180°；（2）繞坐標原點旋轉180°.

方法：拋物線y=ax2+bx+c繞頂點旋轉180°，先將一般式化成頂點式y=a（x-h）2+k，再根據變換前后開口方向改變和頂點不變，即y=-a（x-h）2+k，最后整理成一般式；拋物線y=ax2+bx+c繞原點旋轉180°（關于原點對稱），所得圖像的函數解析式只需將原函數解析式中x換成-x，y換成-y即可，即y=-ax2+bx-c.

解：（1）把一般式化為頂點式y=（x+1）2+2.注意到變換后的拋物線僅是開口方向發生了變化，而形狀、大小和頂點均未變.故所求的解析式為y=-（x+1）2+2，即y=-x2-2x+1.

（2）因為旋轉前后的兩條拋物線關于原點對稱，所以用-x、-y分別代替函數y=x2+2x+3中的x、y即得所求解析式為y=-x2+2x-3.

點評：本題考查了拋物線旋轉前后函數圖像的性質，要求掌握旋轉前后圖像的特征與解析式中字母系數的關系.