初中因式分解的拓展與研究

☉江蘇蘇州市鄭華學校 呂亞軍

初中因式分解的拓展與研究

☉江蘇蘇州市鄭華學校 呂亞軍

一、問題的提出

因式分解是代數式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形，在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.在高中數學中，我們除了會初中課本涉及的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等，但是這點內容在高中教材和初中教材中都沒有講解，本文給予補充.

二、公式法（立方和與立方差公式）

在第一講里，我們已經學習了乘法公式中的立方和、立方差公式：

因為因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，就得到：

這就是說，兩個數的立方和（差），等于這兩個數的和（差）乘以它們的平方和與它們積的差（和）.

運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解.

例1 用立方和或立方差公式分解下列各多項式：

點評：（1）在運用立方和（差）公式分解因式時，經常要逆用冪的運算法則，如8a3b3=（2ab）3，這里逆用了法則（ab）n=anbn；（2）在運用立方和（差）公式分解因式時，一定要看準因式中各項的符號.

例2 分解因式：

分析：（1）中應先提取公因式再進一步分解；（2）中提取公因式后，括號內出現a6-b6，可看成是（a3）2-（b3）2或（a2）3-（b2）3.

三、十字相乘法

1.x2+（p+q）x+pq型的因式分解

這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：（1）二次項系數是1；（2）常數項是兩個數之積；（3）一次項系數是常數項的兩個因數之和.

運用這個公式，可以把某些二次項系數為1的二次三項式分解因式.

例3 把下列各式因式分解：

點評：由此例可以看出，常數項為正數時，應分解為兩個同號因數，它們的符號與一次項系數的符號相同.

例4 把下列各式因式分解：

點評：由此例可以看出，常數項為負數時，應分解為兩個異號因數，其中絕對值較大的因數與一次項系數的符號相同.

例5 把下列各式因式分解：

分析：（1）把x2+xy-6y2看成x的二次三項式，這時常數項是-6y2，一次項系數是y，把-6y2分解成3y與-2y的積，而3y+（-2y）=y，正好是一次項系數.

（2）由換元思想，只要把x2+x整體看成一個字母a，可不必寫出，只當是分解二次三項式a2-8a+12.

這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必須注意的是分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解.

例6 把下列各式因式分解：

點評：用十字相乘法分解二次三項式很重要.當二次項系數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，交叉相乘后，若原常數為負數，用減法“湊”，看是否符合一次項系數，否則用加法“湊”，先”湊”絕對值，然后調整，添加正、負號.

一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進行：

（1）如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；

（2）如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；

（3）如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其他方法（如十字相乘法）來分解；

（4）分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.