在解題教學中培養學生的創新思維

☉江蘇興化市教育局教研室 陳德前

在解題教學中培養學生的創新思維

☉江蘇興化市教育局教研室 陳德前

陳德前，男，1957年生，江蘇省興化市教育局教研室副主任，泰州市教育局教研室兼職教研員，中學高級教師，江蘇省中學數學特級老師，泰州市有突出貢獻的中青年專家，泰州市初中數學名師工作室的領銜人，發表文章百余篇，出版書籍20多本.

《義務教育數學課程標準》要求：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠具有初步的創新精神和實踐能力，在情感態度和一般能力方面都能得到充分發展.”可見，創新能力的培養是新課程理念的重中之重.要培養學生的創新能力，就要在教學過程中培養學生創造性地運用知識去解決問題的能力，其核心就是培養學生的創新精神和創新思維.創新精神是指能敏銳地把握機會，并勇于付諸探索實踐的精神狀態.創新思維是指個人在頭腦中發現事物之間的新關系、新聯系或新答案，用以組織某種活動或解決某種問題的思維過程.創新思維對于完成創造性活動，培養創新型人才是不可缺少的心理因素.因此，在學校的教育教學工作中，應十分重視學生創新思維的培養，要把它貫穿到每一個環節中.那么，作為一名數學教師，怎樣在解題教學中培養學生的創新思維呢？ 下面結合本人的教學實踐，談幾點體會，供研討.

一、標新立異是培養創新思維的前提

創新思維具有異常、新奇的特點，它不完全依賴于邏輯思維，必須發揮標新立異的想象能力.因此，要培養學生的創新思維，在數學解題教學中，就要求教師尊重學生的創新精神，注意引導學生克服思維定勢，鼓勵他們在解題時敢于打破常規，不受傳統解法限制，大膽地多方向地想象，以訓練思維的靈活性，培養思維的跳躍性.當學生思維受定勢干擾時，可讓學生說出他們是用什么方法去解決的，為什么，再啟發他們想想看有沒有其他辦法；如學生實在想不出來，教師可以指出定勢干擾在哪些方面，讓學生自己克服，從而使學生順利地向新的方向探索，創造性地解決問題.

例1 李明與王云分別從A、B兩地相向而行,若兩人同時出發,則經過80分鐘兩人相遇；如李明出發60分鐘后王云再出發,則經過40分鐘兩人相遇.問李明與王云單獨走完AB全程各需要多少小時.

本題中的數量關系比較復雜,絕大多數學生都是通過設輔助未知數列方程組來求解的，比較復雜，也有部分學生束手無策.在學生思考討論發言后，教師清楚了產生問題的根源是思維受定勢干擾，其實題目中并未有此要求.此時應啟發學生另辟蹊徑,尋求更簡便的解法，鼓勵他們不為陳規所局限，善于變通、立異，勇于突破，并啟發他們：由題知,第一種情況兩人各用了80分鐘；第二種情況李明用了100分鐘,王云用了40分鐘,都走完了全程.從中你可以發現什么結論？由此你可以得到本題的簡潔解法嗎？學生經過小組討論，不難發現結論：李明走20分鐘所走的路程相當于王云走 40分鐘所走的路程.于是簡潔解法應運而生：在第一種情況里,王云走的80分鐘路程李明要走40分鐘,因而李明走完全程共需120分鐘即2小時；李明走 80分鐘的路程王云要走160分鐘,因而王云走完全程共需240分鐘即4小時.這樣口算即可得到結果,多么的簡潔，充分說明了創造性思維的巨大威力！

例2 如果y=（x-1）a2+3a在0≤x≤1時永遠是正數，求a的取值范圍.

本題學生初看后都感到很棘手，與他們交流后發現：他們都是從a為主元，y=（x-1）a2+3a是關于a的二次函數這個角度（思維定勢）來考慮的.發現問題的癥結后，教師啟發學生：a一定是自變量嗎？可否換個角度，變通一下自變量，得到一次函數呢？學生很快發現，x也可以為自變量，從而稍作變形即可得到關于x的一次函數y=a2x+（3a-a2），它的圖像是一條直線，要使函數值在0≤x≤1時永遠是正數，只要保證在x=0和x=1時y的值是正數即可以了.當 x=0 時，y=3a-a2；當 x=1 時，y=3a.因此有 3a＞0且 3a-a2＞0，解得 0＜a＜3，這就是要求的 a 的取值范圍.真是變一變，天地寬.

二、多向發散是培養創新思維的核心

心理學告訴我們：“集中型思維和發散型思維是構成創造性思維的必要成分.對創造性思維來說，兩者缺一不可.但是，在創造性思維的形成過程和發展中，培養發散型思維尤為重要.”因此，我們在解題教學中，應多設計一些開放性的題目，引導學生經常進行“一題多解”的練習，給學生提供一個能夠充分表現個性，激勵創新的空間，培養學生的發散思維.

例 3 如 圖 1，∠BAC=∠ABD，∠C=∠D，求證：OC=OD.

這是一道基礎題，一般學生都能解決，且解法不唯一，是進行“一題多解”，培養發散思維的好題.在教學中，可先讓學生自主探究，然后合作交流.合作交流與自主探究是相輔相成的，有助于培養學生的創新意識和創新能力.在合作學習的過程中，有助于學生擺脫以自我為中心的思維傾向，能把各自的想法、思路更好地表現出來.在相互討論的過程中，又有助于激發新的靈感，提出新的設想.但僅僅是滿足于以上的教學是不夠的，還可以將題目進行改編，從解法上的“一題多解”到題目條件或結論的“一題多解”，這樣不僅拓寬了學生的解題思路，而且還能有效地培養學生的創新思維.如：

（2010年甘肅省中考題）如圖1，∠BAC=∠ABD.

（1）要使OC=OD，可以添加的條件為：______或______；

（2）請選擇（1）中你所添加的一個條件，證明OC=OD.

例4 寫出一個解集是x＞2的不等式：________.

三、廣泛聯想是培養創新思維的重要途徑

數學中“由此及彼”的聯想能力在培養創新思維的活動中有著十分重要的作用，許多科學家的重大發明都是廣泛聯想的結果.伽利略看到人們推車后，從反面提出問題：“如果不用力，車子會怎樣？”從而發現了慣性；魯班被齒葉劃破了手和衣服，卻從中受到啟發，發明了鋸子.前者是發現一種現象后，立即聯想到它的反面，這種聯想叫做思維的逆向聯想；后者是發現了一種現象后，立即聯想到與它相似的其他現象，這種聯想叫做思維的橫向聯想.它們與思維的正向聯想、縱向聯想稱之為思維的四種聯想形式.從“創新”的角度來看，思維的逆向聯想和橫向聯想的培養更值得重視.

例 5 已知方程 A：x2+4mx+3-4m=0，B：x2+（m-1）x+m2=0，C：x2+2mx-2m=0中至少有一個方程有實數根，求m的取值范圍.

例 6 若（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0，試求 x+z與 y的關系.

四、綜合應用是培養創新思維的關鍵

心理學告訴我們：“靈感的形成是創造性思維的關鍵”.而靈感的形成不僅要靠精密的觀察、豐富的想象，而且要對一個問題擁有足夠的資料，要能把代數、幾何、三角，概念與運算，理論與實際，數與形，知識與技能，過程與方法等綜合滲透，解題時注意綜合應用，做到融會貫通，只有這樣，才能做到創造性解題，從而達到培養創新思維的目的.

例7（2009年甘肅省慶陽中考題） 如圖2，在寬為20米、長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地.若耕地面積需要551m2，則修建的路寬應為（ ）.

A.1m B.1.5m

C.2m D.2.5m

解析：本題的一般解法是設修建的路寬應為xm，從矩形總面積中減去兩條道路的面積，得到方 程 ：30 ×20-［30x+（20-x）x］=551，解得x=1，選A.有些考生重復減去交叉部分的面積，得到30×20-30x-20x=551的錯誤方程.為了減少這種錯誤，可以考慮特殊圖形——利用平移的方法將它轉化為規則圖形來思考：由題意轉化為圖3，設道路寬為xm，根據題意，可列出方程，（30-x）（20-x）=551，整理得x2-50x+49=0，解得 x1=49（舍去），x2=1.所以道路寬為1m，選A.這里在解決實際問題應用題時，靈活應用了幾何中平移的知識，化難為易，化繁為簡，創造性地解決了問題.

例 8 在△ABC中，a、b、c是三角形的三邊，求證：a2+b2-2abcos（C+60°）=b2+c2-2bccos（A+60°）=c2+a2-2cacos（B+60°）.

本題是研究△ABC的邊與角之間的數量關系的，在教學中，可以引導學生充分觀察問題的結構特征、數量特征，即可發現：問題的結論形式與余弦定理較接近，只是三個角是原三角形的各個角加上60°，由三個60°的角聯想到等邊三角形，就可以構造出如圖4所示的圖形，這樣學生就可以創造性地運用圖形來巧妙地解決這個問題.

由本例可見，數形結合所產生的“速效”與“高能”的作用甚為巨大！

簡證：以△ABC的邊AB、AC為邊向形外作等邊三角形ABD、ACE，則易證△ABD≌△ACE（SAS），所以 BE=CD.再在△ABE、△BCD、△BCE中運用余弦定理即可得到結論.

數學課堂解題教學中對學生創新思維的培養，需要教師以現代教育教學理論為指導，綜觀全局，充分協調教學中的各種因素，創設民主氛圍，確保學生心理自由，采取教學技法，激活思維能力，運用人格力量，弘揚學生個性.惟有如此，學生的創新思維之花，才能在數學課堂教學這塊沃土上結出豐碩之果.

1.陳德前.巧補形，妙解題［J］.中國數學教育（初中），2008（11）.

2.陳德前.利用圖形變換，尋找多種解法［J］.中國數學教育（初中），2009（11）.

3.陳德前.中考數學命題中應注意的新問題［J］.中學數學研究 （廣州），2010（1）； 初中數學教與學 （中國人民大學），2010（6）.

4.陳德前.含［x］的方程的常用解法［J］.中學數學研究（廣州），2010（7）.

5.陳德前，丁亞琴.數學應用問題的幾種建模技巧［J］.中學數學（湖北），2009（6）.