“以定聯(lián)動(dòng)”破解中考?jí)狠S題

☉河南商水縣希望中學(xué) 于學(xué)明

“以定聯(lián)動(dòng)”破解中考?jí)狠S題

☉河南商水縣希望中學(xué) 于學(xué)明

一、構(gòu)造直角三角形與已知直角三角形相似

對(duì)于此類題目，首先要分析確定所給三角形是直角三角形，并求出兩直角邊的比值，然后構(gòu)造一個(gè)兩直角邊的比值與已知直角三角形兩直角邊的比值相等的直角三角形.構(gòu)造直角三角形時(shí)，要先求出拋物線上符合條件的動(dòng)點(diǎn)與已知定點(diǎn)所在的直線的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立解方程組即可.

2009年中考?jí)狠S題第二問(wèn)，2011年中考?jí)狠S題第三問(wèn)是此類型的題目，以2011年中考?jí)狠S題第三問(wèn)為例進(jìn)行分析.

題目：拋物線經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（-3，3） 及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C，如圖1.P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1） 根據(jù)題意，將A（-2，0）、B（-3，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx中，求得拋物線的解析式為y=x2+2x.

二、兩定點(diǎn)，找一動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形

此類題目是構(gòu)造等腰三角形，給定的兩定點(diǎn)間的線段可以作為三角形的腰，求動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)所在直線的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，解方程組求得等腰三角形底邊另一頂點(diǎn)的坐標(biāo)；也可以將給定的兩定點(diǎn)間的線段作為三角形的底，求得底邊中垂線的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，解方程組求得等腰三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo).

2007年中考?jí)狠S題第三問(wèn)，2008年中考?jí)狠S題第二問(wèn)是此類型的題目，以2008年中考?jí)狠S題第二問(wèn)為例進(jìn)行分析.

題目：如圖2，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：⑴將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，解得拋物線解析式為y=-x2+2x+3.

⑵分析確定動(dòng)點(diǎn)P的位置.（P1、P2表示符合條件的P點(diǎn)有兩個(gè)）

第二種情況，若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）.

三、三定點(diǎn)形成一直角，找一動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造直角梯形

此類題目是構(gòu)造直角梯形，給定的三定點(diǎn)可以組成一個(gè)直角，以這個(gè)角為直角梯形的一個(gè)底角，以直角的一邊為直角梯形的一個(gè)底，根據(jù)兩底平行，可得到動(dòng)點(diǎn)所在的另一底的直線解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立，解方程組求得構(gòu)造直角梯形的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).

2008年中考?jí)狠S題第三問(wèn)，2010年中考?jí)狠S題第三問(wèn)是此類型的題目，以2008年中考?jí)狠S題第三問(wèn)為例進(jìn)行分析.

題目：如圖3，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

解析：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，解得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（3）再確定動(dòng)點(diǎn)M的位置.

第二種情況，若以DC為底邊，M點(diǎn)不存在.所以符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）.

四、兩定點(diǎn)，找兩動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形

此類題目是已知兩定點(diǎn)，尋找兩動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，可以以兩定點(diǎn)間的線段為平行四邊形的一邊，另外一邊可以由此定邊平行移動(dòng)得到.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，就很容易找到符合條件的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).另外若以給定的兩定點(diǎn)為平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)，求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).

2007年中考?jí)狠S題第二問(wèn)，2011年中考?jí)狠S題第二問(wèn)是此類型的題目，以2011年中考?jí)狠S題第二問(wèn)為例進(jìn)行分析.

題目：如圖4，拋物線經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（-3，3） 及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C，若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

解析：（1） 根據(jù)題意，將A（-2，0）、B（-3，3）代入y=ax2+bx中，求得拋物線的解析式為y=x2+2x.

（2）分析確定動(dòng)點(diǎn)D的位置.（符合條件的點(diǎn)有三個(gè)）

第一種情況，以線段AO為一邊構(gòu)造平行四邊形.ED∥AO，且ED=AO=2，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-1，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是1，即x=1，代入拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x，可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）.

第二種情況，用同樣的方法可以在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)得到另一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，3）.

第三種情況，以線段AO為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形.因?yàn)镋在拋物線的對(duì)稱軸上，ED與AO相互平分，且AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-1，根據(jù)對(duì)稱性可知頂點(diǎn)C（-1，-1）是符合條件的唯一動(dòng)點(diǎn)D，即點(diǎn)C（-1，-1）也是符合條件的一個(gè)解.

綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)D為（1，3）、（-3，3）或（-1，-1）.