一道“高難度”中考壓軸題探析

☉湖南省常德市芷蘭實驗學校初中部 陳金紅

一道“高難度”中考壓軸題探析

☉湖南省常德市芷蘭實驗學校初中部 陳金紅

陳金紅，男，1968年生.中學數學高級教師，湖南省教育學會中學數學專業委員會會員.在 《中學數學》、《中學數學教學參考》、《中國數學教育》、《中學數學研究》、《湖南教育·數學教師》、《中學數學雜志》、《中學生數學》、《數理天地》、《教育科學論壇》、《中小學數學》發表數學教育教學專業論文數篇.曾榮獲湖南省常德市優秀青年骨干教師稱號，在全國初中數學競賽中輔導學生數人次獲得全國一、二、三等獎，多次榮獲全國初中數學競賽優秀教練員稱號.湖南省教育學會課題NH4—21主要參研員，多篇相關論文獲省級一、二等獎.主要研究方向：初中數學教育教學、中考數學、初中數學競賽.

通觀2011年全國各地中考數學考試題，緊跟時代步伐，唱響時代旋律、反映社會風貌的試題層出不窮，可謂精彩紛呈！本文僅就浙江湖州市第24題第3小問作一探析.

“如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一個動點（點C除外），直線PM交AB的延長線于點D.

（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；

（2）當△ADP是等腰三角形時，求m的值；

（3）設過點P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2）.當點P從原點O向點C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經過的路徑長（不寫解答過程）.

一、第3小問這道“高難度”題為何而“高”

首先出題者可謂良苦用心，“不寫解答過程，請直接寫出點H所經過的路徑長”.可猜呀！再就是公布的參考答案卻沒有過程；過程復雜，線路多，不如不寫，言外之意考考你，會嗎？！

二、如何解答？作如下探析

（1）過點P、M、B的拋物線，其中點M、B是定點，僅點P是有范圍運動的動點.又定點M、B的縱坐標相同，均為2，故拋物線的對稱軸是線段MB的垂直平分線，即x=，始終不變.

（3）一般地，P點從線段OC上的點O向點C運動（點C除外）時，拋物線被x軸截得的線段長度逐漸增大，從而直線ME與x軸的銳角夾角∠MEO逐漸變小，于是由“過點O作直線ME的垂線，垂足為H”可知，∠HOE逐漸變大，（因Rt△OHE中兩銳角∠HEO、∠HOE互余！）故有垂足H點逐漸“升高”的態勢！于是告知須找出點H的“開始”與“結束”的“兩端”位置！顯然點P在O點時產生的垂足H是“開始”位置！

（5）最后重心落在點H所經過的路徑的“結束”點上：由⑷知，⊙O′上的點不全是H點，其中⊙O′與y軸的交點（見圖3）不能當H，否則由∠OHM=90°?直線ME∥x軸（因∠yOx=90°），使得與“過點P、M、B的拋物線與x軸的正半軸交于點E”條件矛盾了！

三、簡評

第3小問本質上是一個已移到高中再講的軌跡問題.本小題考察了拋物線、正方形與圓的基本知識、對稱性知識、弧長公式、圓周角與圓心角關系、直徑所對的圓周角是直角、勾股定理等知識；考查了運動與靜止、特殊與一般、猜想與分類、綜合與反證法等主要數學思想方法，是一道高水平的好壓軸題！

1.2011年全國各地中考數學試題.

2.2000年全國各地中考數學試題評析.中學數學教學參考（初中）（雜志上多篇文章）.