例談等腰三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

☉河南鎮(zhèn)平縣涅陽一初中 王 清

例談等腰三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

☉河南鎮(zhèn)平縣涅陽一初中 王 清

定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對(duì)等角”）.

定理2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）.

定理3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.

以上是等腰三角形的性質(zhì)定理，這些性質(zhì)定理在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，下面以近年來各地的中考試題為例，分類加以說明，供大家參考.

一、借助量角器求角度

例1 如圖1，小量角器的零度線在大量角器的零度線上，且小量角器的中心在大量角器的外緣邊上.如果它們外緣邊上的公共點(diǎn)P在小量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為65°，那么在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為__________（只需寫出0°～90°的角度）.

解析：此題要求考生能夠?qū)⑸钪械膶?shí)物圖形抽象為幾何圖形，能夠從實(shí)物圖中挖掘出相應(yīng)的幾何量.如圖2所示，A、B是兩個(gè)量角器的中心，點(diǎn)D在線段AB上，AC=AB，BD=BC，∠ABC=65°，求∠B的度數(shù).

因?yàn)樵凇鰽BC中，AC=AB，根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，所以∠A=180°-65°×2=50°，故答案為50°.

點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化與化歸的策略很多，一般來說，提取已有的解題經(jīng)驗(yàn)或?qū)栴}轉(zhuǎn)化為熟悉的解題模式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵，象這樣的例題，構(gòu)造出數(shù)學(xué)圖形從而實(shí)現(xiàn)問題有效轉(zhuǎn)化的策略是值得同學(xué)們學(xué)習(xí)的.

二、借助于平面直角坐標(biāo)系確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，），點(diǎn)C在坐標(biāo)平面內(nèi).若以A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形，且底角為30°，則滿足條件的點(diǎn)C有幾個(gè).

解析：（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，以A為圓心，AB=2為半徑畫圓，與x、y軸交與C1、C2，由點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0），這些條件可以求出以A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且底角為30°，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）和（0，-）.

（2）當(dāng)BC=BA時(shí)，以B為圓心，BA=2為半徑畫圓，由題意，在圓上我們可以找到兩個(gè)點(diǎn)C3、C4，使以B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且底角為30°，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2+） 和（-2，）.

故答案為6.

點(diǎn)評(píng)：要使△ABC是等腰三角形，應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，再通過畫圖來確定點(diǎn)C的位置.

三、借助于勾股定理求邊長

例3 如圖4，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5cm，BC=6cm，則AD的長為多少.

點(diǎn)評(píng)：等腰三角形的“三線合一”是非常重要的性質(zhì)，尤其在綜合題中經(jīng)常跟勾股定理聯(lián)系起來進(jìn)行考查.

四、借助于三角形相似求面積

例4 如圖5，在正三角形ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB上的點(diǎn)，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于（ ）.

解析：此題運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及相似的性質(zhì)來解決.由題意可證得△EDF是等邊三角形，而且△AEF、△BDF、△CDE均是有一個(gè)角是30°的直角三角形.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)“等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°”這一性質(zhì)特征，從而所有等邊三角形都是相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)特征求出面積比.

綜上所述，與等腰三角形（等邊三角形）的性質(zhì)密切相關(guān)的綜合題頻頻出現(xiàn)在各地的中考試卷上，已經(jīng)成為考查三角形的一大熱點(diǎn)，同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中要把握本質(zhì)特征，多動(dòng)腦、勤動(dòng)手，才能體驗(yàn)到學(xué)以致用的樂趣.