乘法公式在初中數(shù)學(xué)知識(shí)中的幾種應(yīng)用

☉江蘇沭陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 胡會(huì)俠

乘法公式在初中數(shù)學(xué)知識(shí)中的幾種應(yīng)用

☉江蘇沭陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 胡會(huì)俠

乘法公式包含兩個(gè)運(yùn)算公式，即平方差公式、完全平方公式，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的、應(yīng)用最廣泛的公式，同時(shí)也是初中中考命題中比較重要的考點(diǎn)之一，靈活巧妙地應(yīng)用乘法公式可以使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)捷方便，達(dá)到事半功倍的效果，現(xiàn)分析乘法公式在初中數(shù)學(xué)中的五個(gè)重要的應(yīng)用.

一、乘法公式在解方程或不等式組中的應(yīng)用

例 1 解方程：（2x+3）（2x-3）+3（x+2）（x-2）=（x+1）（7x-1）.

分析：先利用平方差公式和，再利用多項(xiàng)式乘法法則展開(kāi)，按照解方程的步驟即可求解.

所以不等式組的解集為（5，+∞）.

二、利用乘法公式簡(jiǎn)算

例 3 計(jì)算：3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）+1.

分析：計(jì)算 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×（216+1）時(shí)可知直接計(jì)算比較煩瑣，而且數(shù)字較大，不易計(jì)算，尤其是最后的乘積.但發(fā)現(xiàn)3=22-1，可將原式變形為含有平方差公式的計(jì)算式.

三、完全平方公式在三角形中的運(yùn)用

例4 已知：△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三邊滿足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0的關(guān)系式，試判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由.

分析：關(guān)系式a2+b2+c2-ab-bc-ac=0體現(xiàn)了△ABC三邊長(zhǎng)之間關(guān)系，從關(guān)系式形式上與完全平方公式很相近，只是相差2ab和2bc與2ac中的2倍，利用等式性質(zhì)可轉(zhuǎn)化為2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0即可.

四、利用乘法公式證明

例 5 證明：對(duì)于任意整數(shù) n，整式（2n+1）2-（2n-1）2-8是 8的倍數(shù).

分析：要判斷整式（2n+1）2-（2n-1）2是 8 的倍數(shù)，只要最后的結(jié)果中會(huì)有8的因數(shù).

證明：（2n+1）2-（2n-1）2-8=［（2n+1）+（2n-1）］［（2n+1）-（2n-1）］-8=4n×2-8=8（n-1）.

又因?yàn)閚是整數(shù)，所以n-1是整數(shù)，可得8（n-1）是8的倍數(shù).

五、利用乘法公式變形求值

例 6 已知：（a+b）2=8；（a-b）2=4，求 a2+b2及 ab 的值.

分析：（a+b）2和（a-b）2的展開(kāi)式中都含有 a2+b2及 ab，因此將（a+b）2=8、（a-b）2=4 展開(kāi)，把兩個(gè)等式看成關(guān)于 a2+b2及 ab 的方程組，解方程組即可.

乘法公式除了以上知識(shí)點(diǎn)，也涉及很多知識(shí)，常常融入到其他知識(shí)綜合題中，在數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的化簡(jiǎn)、解方程等方面都有極其廣泛的應(yīng)用，但要記清這些公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以便能夠舉一反三，觸類旁通，總結(jié)規(guī)律，真正培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和類比思想，提高知識(shí)水平、運(yùn)算能力以及對(duì)知識(shí)的貫通能力.