中考壓軸題——在運動中分析，在變化中求解

☉江蘇淮安生物高等職業學校 劉 江

中考壓軸題
——在運動中分析，在變化中求解

☉江蘇淮安生物高等職業學校 劉 江

在2011年的中考試題中，有很多省市都以動點型試題作為壓軸題.這樣的試題及代數與幾何等眾多知識于一題，考查了學生的數學思維能力、空間想象能力和數學創新意識以及初步的辯證唯物主義觀點.

很多學生在平時的學習中疏于用變化、運動的觀點分析幾何圖形，難于駕馭這類問題.解決這類問題應理清圖形的變化過程，正確分析變量與其他變量之間的內在聯系，建立變量與其他變量之間的數量關系.本文以2011年全國各地的中考動點型壓軸題為例進行歸納分析，供初三學生復習參考之用.

一、動點與列函數關系式相結合

例1（江蘇宿遷）如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設DQ=t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QE⊥AB于點E，過M作MF⊥BC于點F.

（1） 當t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；

（2）順次連接P、M、Q、N，設四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數關系式，并求S的最小值.

解：（1）因為四邊形ABCD是正方形，

點評：此類題是中考中常見的一類題，利用變量列函數關系式，要分析圖像的變化過程及條件，理解圖像的性質，弄清各個條件的內在聯系及數量關系，經常利用的幾何知識有平行線分線段成比例、相似三角形性質、與圓有關的性質定理、勾股定理、面積公式等.

二、動點與坐標系相結合

例2 （浙江湖州）如圖2，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點.P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D.

（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；

（2）當△APD是等腰三角形時，求m的值；

（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖3）.當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經過的路徑長.（不必寫解答過程）

評析：動點與坐標系相結合的題型，將幾何圖形置于坐標系中，讓動點帶動某一個或幾個幾何圖形運動，在這一運動變化過程中，研究、探討圖像的位置關系，利用函數與幾何知識進行解答，它考查的知識點多，綜合性強，對學生的能力提出了更高的要求.

同時，在解動點問題的時候，要學會分類討論，要通過觀察、比較，分析圖像的變化，解釋圖像之間的內在聯系，要能夠根據條件作出或畫出圖形，從而進行分類.