中考問題考點(diǎn)透視

☉湖南臨武縣第二中學(xué) 唐孝傳

中考問題考點(diǎn)透視

☉湖南臨武縣第二中學(xué) 唐孝傳

新的課程標(biāo)準(zhǔn)更多地強(qiáng)調(diào)我們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)生活化和生活數(shù)學(xué)化.隨著新課程的不斷深入，中考命題中越來越注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，其中航海問題就是熱點(diǎn)考題之一.這類問題形式多樣，新穎獨(dú)特，生活性強(qiáng)，是對(duì)同學(xué)們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的考查.

解決此類問題的關(guān)鍵在于：①弄清題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；②構(gòu)造直角三角形，弄清直角三角形中，已知線段、角和未知條件之間的關(guān)系；③分析圖形特點(diǎn)，從不同角度思考問題.現(xiàn)將有關(guān)的考題進(jìn)行分類整理，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

考點(diǎn)一、求兩點(diǎn)間的距離

例1 如圖1，客輪在海上以每小時(shí)30km的速度由B向C航行，在B處測(cè)得燈塔A的方位角為北偏東80°，測(cè)得C處的方位角為南偏東25°，航行1小時(shí)后到達(dá)C處，在C處測(cè)得A的方位角為北偏東20°，則C到A的距離為（ ）.

點(diǎn)撥：通過作BD⊥AC于D，將AC分成CD與AD的和，證得△BCD為等腰三角形，利用解直角三角形求出CD和AD的長，問題將得以解決.

故選擇D.

考點(diǎn)二、求航行時(shí)間

例2 如圖2，小島A在港口P的南偏西45°方向，距離港口81海里處.甲船從A出發(fā)，沿AP方向以9海里/時(shí)的速度駛向港口，乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東60°方向，以18海里/時(shí)的速度駛離港口.現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā).

①出發(fā)后幾小時(shí)兩船與港口P的距離相等？

點(diǎn)撥：①設(shè)出時(shí)間這個(gè)未知數(shù)，利用路程相等，建立方程即可求解；②乙船在甲船的正東方向，實(shí)質(zhì)就是求出發(fā)后幾小時(shí)后乙船和甲船所處點(diǎn)（D點(diǎn)、C點(diǎn)）的連線與南北方向垂直，這樣可聯(lián)想過點(diǎn)P作PE⊥CD于E，AE即為Rt△PCE與Rt△PDE的公共邊，因此，運(yùn)用解直角三角形的方法，利用PE的長為等量關(guān)系建立方程，即可求出出發(fā)后的時(shí)間.

解：①設(shè)出發(fā)x小時(shí)后兩船與港口P的距離相等，根據(jù)題意得，81-9x=18x解得 x=3.

答：出發(fā)3小時(shí)后兩船與港口P的距離相等.

②設(shè)出發(fā)y小時(shí)后乙船在甲船的正東方向，此時(shí)甲、乙兩船的位置分別在點(diǎn)C、D處，連接CD，過點(diǎn)P作PE⊥CD于E，則點(diǎn)E在點(diǎn)P的正南方向.

答：約3.7小時(shí)后乙船在甲船的正東方向.

考點(diǎn)三、確定方向

例3 一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.

求：①A、C兩港之間的距離；②確定C港在A港什么方向.

點(diǎn)撥：畫出示意圖（如圖3），證得△ABC是等腰直角三角形，即可求得AC的長和∠CAB的度數(shù)，∠CAD就是C港在A港的方位角.

解：①根據(jù)題意得，∠ABC=90°AB=BC=10.

②因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以∠CAB=45°，∠CAD=60°-45°=15°.

所以C港在A港的北偏東15°的方向上.

考點(diǎn)四、求船速

例4 如圖4，甲船在A處，測(cè)得乙船在甲船的北偏東30°的B處正以每小時(shí)10km/h的速度向正東方向行駛，若甲船從東北方向追趕乙船，計(jì)劃在2小時(shí)后追上，求甲船的速度（結(jié)果保留根號(hào)）.

點(diǎn)撥：延長CB交AD于D，在Rt△ADC中和Rt△ABD中，通過解直角三角形用AD的長分別表示出CD與BD的長，然后利用BC=CD-BD構(gòu)建方程，求出AC的長，即可求出船速.

解：延長CB交AD于D，由題意可得，CD⊥AD.

考點(diǎn)五、判斷船是否被淺灘阻礙（或觸礁）

圖5

點(diǎn)撥：船是否有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)，實(shí)際是探討航標(biāo)C到直線AB的距離與120m的大小關(guān)系.通過作CD垂直于AB的延長線D點(diǎn)，在Rt△ACD和Rt△BCD，通過解直角三角形，用CD的長分別表示出AD和BD的長，然后利用AB=AD-BD建立方程，求出CD的長與120m相比較即可.

解：作CD垂直于AB的延長線于點(diǎn)D，設(shè)CD=xm.

在 Rt△BCD 中，因?yàn)椤螩BD=45°，所以 CD=BD=x.

所以這條船繼續(xù)前進(jìn)，沒有被淺灘阻礙的危險(xiǎn).