L型薄導體電阻的估算方法

韓金池，鄒 軍

(清華大學電機工程與應用電子技術系，北京 100084)

0 引言

對于形狀不規則導體電阻的求解通常有兩類方法:一類是通過實驗方法測量，即對導體兩端加電壓測量流過導體的電流，或對導體通入恒定電流測量導體兩端的電壓，電壓和電流之比即為導體的電阻;另一類方法是利用電場計算，通過給定導體中電流場的方程和邊界條件，求解偏微分方程得到導體兩端電位差求得導體電阻。但以上兩類方法都存在一定的局限:實驗方法受到條件的限制，有時對于一些體積較大的導體電阻也不便于用實驗的方法進行測量;很多不規則導體的電阻難以利用電場計算的方法得到解析解，而數值解法需要使用特定的軟件。有時無法使用上述兩類方法，而又需要對形狀不規則導體電阻進行估算。對于這種需求，本文討論了一種不規則形狀(L型)薄導體片電阻的簡化估算方法，并對該方法的合理性及誤差進行分析。

通常對于不規則導體電阻估算使用圖解法，將它劃分成若干長方體電阻進行估算，這樣的估算方法是基于在所劃分的長方體區域內電流場分布均勻的假設，但顯然該假設在劃分不足夠細的情況下未必成立，特別是在貼近轉角處由于電流線靠近導體邊界，在這樣的區域內長方形電阻等效的方法誤差會較大。因此，本文提出一種對轉角處電阻做圓弧電阻等效，對距離轉角較遠處做長方體電阻等效的方法，對L型薄導體片電阻進行估算。

該估算方法的優點是:①對轉角處用圓弧等效使得估算模型的電流線分布與導體實際情況更加接近，從而減小誤差;②通過對求解區域一定的細化進一步提高求解精度，且細化方式對于L型薄導體有普適性。

1 L型導體片電阻的估算

1.1 圓弧導體片電阻

厚度為h(通常很小)，圓心角為θ，電導率為γ，內外徑分別為r1和r2的圓弧導體片，如圖1所示。

圖1 圓弧電阻示意圖

采用圓柱坐標系，由于h較薄，可以認為圓弧導體片中電位φ的分布與厚度方向坐標z無關。圓弧導體片內電流線沿圓弧方向均勻分布，則電位φ與坐標r也無關，只與弧角α有關。圓弧導體片內電位方程為

其通解為φ=Aα+B。設定邊界條件φ|α=0=0，φ|α=θ=U0，可確定 A=U0/θ，B=0，得到電位為

解得圓弧導體片電阻為

1.2 梯形導體片電阻

對于如圖2所示的梯形導體，通過對梯形兩腰所形成的角∠AOD進行等分，將導體劃分成m個小分塊，對于任意小分塊梯形k都可以用圓弧近似，對應的圓弧內外徑分別取為r1k=(OAk+ODk)/2，r2k=(OBk+OCk)/2。

那么小分塊梯形k等效成圓弧的電阻為

整個梯形導體的電阻可以認為是m個小梯形電阻串聯，即

圖2 梯形導體劃分圖

這里對梯形導體做圓弧等效這樣的處理是有條件的，即對于每一個劃分出的小梯形，AkDk和BkCk為等位線。且對于整個梯形導體也需滿足AB和BC為等位線的條件，這樣的近似才會比較精確。

1.3 寬度相同的L型薄導體片電阻

(1)導體片的劃分

對于如圖3所示的L型導體，其寬度為L，外轉角兩側長度為2L。為便于估算其電阻，在距離內轉角0.5L 處作直線劃分，使其分為 A，B，C1，C2四部份。我們先對這樣的L型導體的電阻進行研究。

3 寬度相同的L型導體

由于電流線在距離內轉角超過對應一半寬度的位置處的分布可以近似認為均勻，所以劃分出來的A，B兩部分導體可利用通常的長方體電阻公式計算，剩余轉角部分C1和C2可以利用圓弧進行等效，轉角的等效圓弧電阻可以利用公式(8)求解

式中，RC為C1，C2梯形電阻之和。

由此，我們可得到如圖所示的L型導體的總電阻為

對于需要切割的導體，由于切割出的兩端距離轉角較遠，可以近似認為電流線在這兩部分分布均勻，電阻可以直接利用長方體電阻公式進行求解;對于需要增補的導體，當距離內轉角一端的長度小于L/2時，可以先補成L/2，在進行圓弧等效時計算出實際導體長度對應的圓心角，再利用上面的方法進行求解。

(2)誤差分析

上述估算方法的誤差來自以下幾方面:①處理時到內轉角距離超過一半寬度的位置處，認為電流線分布均勻，實際上整個導體內電流總是不均勻的。只是在取定位置處電流線分布不均勻程度很小，這樣的等效造成誤差不大;②對轉角近似時將梯形等效成圓弧，形狀的近似會有誤差，更重要的是圓弧導體電阻推導是假定徑向邊界為等位線條件下得到的，實際上等位線需垂直與轉角邊界，如圖4所示;③作圓弧導體近似假定導體內電流線沿圓弧方向，而實際上電流線在靠近轉角邊界時貼近邊界分布，如圖5所示，由此也帶來一定誤差。

圖4 實際等位線

圖5 實際電流線

(3)估算方法的改進

從誤差分析中可以發現，上述估算方法的誤差主要是由于貼近邊界時電流線及等位線的分布不符合圓弧等效的條件，所以這里不妨將貼近兩邊界的部分分離出來單獨考慮，形成三個緊靠的L型導體，如圖6所示。

分離出的兩個部分仍然可以通過截成三個區域，其中轉角區域仍以利用上面得到的公式求解，其余兩區域直接利用長方體電阻公式。中間的部分由于已削弱靠近邊界的影響，在轉角區域直接用圓弧等效更加準確。推導出各區域電阻及總電阻計算公式如下:

圖6 區域一階細化示意圖

式中，R0，R1，R2分別表示區域(A0，B0，C01和 C02)，區域(A1，B1，C11和 C12)和區域(A2，B2，C21和 C22)的電阻。

如果考慮從電流線貼近邊界到中間部分沿圓弧分布中間的過渡，可以對區域做二階的劃分，將靠近邊界的部分分離出來。推導出計算如下公式，其中R1與R2同式(12)和式(13)。

圖7 區域二階細化示意圖

式中，R3為區域(A3，B3，C31和 C32)電阻。可得到總電阻為

2 寬度不相等L型薄導體

2.1 估算方法的推廣

對于寬度不相等的L型導體，也可通過截斷或增補得到如圖8所示形狀的導體。利用對寬度相等的導體估算的思想，通過對轉角處做圓弧等效，對寬度不相等導體轉角需分成三個區域(C0、C1和C2)進行估算。由于在寬度較窄的一端電流線分布很密，所以考慮到電流線由密到疏的過程及等位線分布，轉角窄導體部分、寬導體部分以及過渡部分分別用三種圓心和內外徑的圓弧進行等效，如圖8所示。

圖8 寬度不相等L型導體

由如圖的幾何關系可以得到電阻計算公式:

2.2 估算方法的改進

上述推廣方法對寬度不同導體進行電阻估算誤差原因與1.3(2)中分析類似，可以參照1.3(3)的方法對推廣的估算做以改進。

進行一階劃分，將貼近兩邊界的部分分離出來，如圖9所示。

圖9 區域一階細化示意圖

由圖得到求解公式為

進一步劃分來削弱從電流線貼近邊界到沿圓弧過渡區域對求解精度的影響，得到如圖10所示的示意圖。

圖10 區域二階細化示意圖

各區域電阻及總電阻中，R1、R2計算見式(23)和式(24)，R3、R4和總電阻可計算如下:

3 電阻估算精度比較

3.1 寬度相同導體的電阻估算

設有L=0.5m，γ =8 ×106S/m2，h=5mm 的寬度相同的L型導體，利用Matlab中PDEtool工具箱得到導體中電流線和等位線分布如圖11所示。

求得的導體電阻精確值為R=64.16μΩ。利用傳統長方體等效估算方法，本文提出的估算方法以及兩種改進估算方法得到的電阻與相對誤差比較如表1所示。

圖11 寬度相同L型導體PDEtool仿真

表1 寬度相同導體不同劃分估算結果

對于給定尺寸L型電阻，傳統估算法的誤差很大，而本文提出的最簡單估算方法的相對誤差在5%左右，隨著劃分的細化，估算精度逐漸提高，二階劃分后相對誤差已經降到0.5%以下，估算求解已十分精確。

3.2 寬度不同導體的電阻估算

設有 L1=0.5m，L2=1.0m，γ =8 ×106S/m2，h=5mm的寬度不相等導體，PDEtool仿真給出的電流線和等位線的分布如圖12所示。解得導體電阻精確值為R=64.16μΩ。采用傳統長方形等效法的估算值與劃分方式有關(劃分AC與B兩區域對應法1，劃分A與BC兩區域對應法2)。利用傳統法，推廣估算方法以及兩種改進估算方法得到的電阻與相對誤差比較如表2所示。

圖12 寬度不相同L型導體PDEtool仿真

表2 寬度不同導體不同劃分估算結果

對于給定尺寸L型電阻，最簡單估算方法相對誤差在4.5%左右，隨著劃分細化，估算精度逐漸提高，二階劃分后相對誤差已降到0.015%左右，該估算求解十分精確。

4 結語

本文討論了L型導體電阻的估算方法，提出兩種改進的估算方法并對估算方法進行了誤差分析，且對不同估算方法的精度進行了比較。

應當指出，在需要精確求解L型導體電阻的場合，直接測量及仿真仍是最常用的測量方法，而本文給出了在無法應用上述方法時對L型導體電阻的一種較準確且簡便的估算方法。

我們在選擇估算方法時應考慮按求解精度的需求選擇合適的估算方法，改進方法隨著區域劃分加密，求解精度逐步提高，但是工作量也大大增加。所以應當結合實際需求，選擇符合精度要求且最為簡便的估算方法。

［1］ 馬信山，張濟世，王平編著，《電磁場基礎》，清華大學出版社，1995.5:北京