曲邊梯形面積常用近似計(jì)算方法在Excel 中的實(shí)現(xiàn)

歐陽和平 劉姣娥 陽 暉

（湖南食品藥品職業(yè)學(xué)院 湖南 長沙 410014）

0 引言

在科學(xué)研究、工程和生產(chǎn)實(shí)踐中，往往要碰到求曲邊梯形面積的問題。 在直角坐標(biāo)系中，曲邊梯形面積是指由曲線y=f（x）和直線x＝a、x＝b 及y=0 所圍成的面積。這里，f（x）＞0，b＞a。該曲邊梯形面積，在數(shù)學(xué)上可以通過計(jì)算被積函數(shù)為f（x），積分下、上限分別為a 與b 的定積分來得到。 當(dāng)被積函數(shù)f（x）能用初等函數(shù)表達(dá)，在積分區(qū)間連續(xù)，并且能找到f（x）的原函數(shù)F（x），那么，定積分的值S＝F（b）-F（a）。但當(dāng)f（x）不能用初等函數(shù)來表達(dá)，或只是一些實(shí)驗(yàn)得出來的經(jīng)驗(yàn)值序列，或f（x）的原函數(shù)F（x）不能用初等函數(shù)來表達(dá)，則S 只能通過近似計(jì)算來求得。 求曲邊梯形面積近似值的方法有矩形法、 梯形法和拋物線法等多種，具體可采用圖解法、計(jì)算機(jī)編程來計(jì)算，但都有一定的局限性。圖解法受繪圖界面所限制，不可能將曲邊梯形分得太小，計(jì)算繁瑣且不精確。計(jì)算機(jī)編程又不是一般人都能掌握的，就是掌握了也不是在所有場(chǎng)合都適應(yīng)的。 本文提出一種用Microsoft Excel 計(jì)算曲邊梯形面積近似值的簡單而又實(shí)用的方法。

1 Excel 計(jì)算曲邊梯形面積的方法

前已述，求曲邊梯形面積近似值的方法有矩形法、梯形法和拋物線法。 不管是哪種方法都是先將曲邊梯形細(xì)分成若干小曲邊梯形，接著分別計(jì)算出各小曲邊梯形面積的近似值，最后將各小曲邊梯形的近似值之和作為整個(gè)曲邊梯形面積的近似值。 所不同的是：矩形法將每個(gè)小曲邊梯形的曲邊用一條水平直線來代替，因而小曲邊梯形就變成了小矩形，計(jì)算小曲邊梯形面積就變成了計(jì)算小矩形面積；而梯形法則是將每個(gè)小曲邊梯形的曲邊以一條連接兩個(gè)交點(diǎn)的直線段來代替，這樣小曲邊梯形就變成了小梯形，計(jì)算小曲邊梯形面積就變成了計(jì)算小梯形面積；拋物線法則是以拋物線上的一段弧代替小曲邊梯形的曲線弧，從而計(jì)算出定積分的近似值。

用分點(diǎn)將區(qū)間[a，b]分成n 個(gè)小區(qū)間，對(duì)應(yīng)區(qū)間長分別為Δx0，Δx1，…，Δxn-1，Δxn，并設(shè)函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)于各分點(diǎn)的函數(shù)值分別為f（x0），f（x1），…，f（xn-1），f（xn），那么，

矩形法表示的曲邊梯形的面積為：

上述四個(gè)公式代表四種方法。 四種方法雖然都是矩形法，但其意義有所不同。 矩形法1 以左邊高f（xi－1）作為小矩形的高，矩形法2 以右邊高f（xi）作為小矩形的高，矩形法3 以f（xi－1）、f（xi）中較小作為小矩形的高，矩形法4 以f（xi－1）、f（xi）中較大作為小矩形的高。

梯形法表示的曲邊梯形的面積為：

值得注意的是， 矩形法和梯形法的小區(qū)間劃分并不一定要均分，這要根據(jù)f（x）在積分區(qū)間的特征來決定。

拋物線法又稱辛普森（Simpson）法。 拋物線法表示的曲邊梯形面積相對(duì)復(fù)雜一些。為簡單起見，將區(qū)間[a，b]分成n 個(gè)均等的小區(qū)間，且n 為偶數(shù)，由于各區(qū)間長度相等，拋物線法表示的曲邊梯形面積公式為：

式中，n 為偶數(shù)；ki序列為1，4，2，…，2，4，1。

圖1

首先在A 列輸入分點(diǎn)的序號(hào)，B列用等差數(shù)列自動(dòng)填充方法填入各分點(diǎn)的xi值。 C 列根據(jù)xi值計(jì)算出對(duì)應(yīng)的f（xi）值。 方法是先在C2單元格輸入公式“=EXP(-(B2^2))”，計(jì)算出f（x0），然后用填充柄向下填充，求出所有其他的f（xi）值。 在D 列的D3 單元格輸入公式“=B3-B2”，計(jì)算出Δx1，用填充柄向下填充得到其他的Δxi值。 由于是均分各點(diǎn)，所以所有的Δxi都相等。

接著根據(jù)矩形法曲邊梯形面積近似計(jì)算公式（1）～（4）計(jì)算出用來近似10 個(gè)細(xì)分的小曲邊梯形面積的小矩形面積。 每種方法的第一個(gè)小矩形面積的計(jì)算公式分別為 “=C2*D3”、“=C3*D3”、“=MIN(C2:C3)*D3”和“=MAX(C2:C3)*D3”，依次應(yīng)用于單元格E3、F3、G3 和H3 即計(jì)算出它們的值，然后用填充柄向下填充求出其他小矩形面積。 在最后一行，用求和函數(shù)“=SUM(E3:E12)”、“=SUM(F3:F12)”、“=SUM(G3:G12)”和“=SUM(H3:H12)”依次求出對(duì)應(yīng)列中各小矩形面積之和，即為分別用矩形法1、矩形法2、矩形法3 和矩形法4 計(jì)算出來的曲邊梯形面積的近似值。

在I 列應(yīng)用梯形法曲邊梯形面積近似計(jì)算公式（5）比照矩形法相似的計(jì)算方法算出10 個(gè)小梯形面積。 方法是在I3 單元格中輸入公式“=(C2+C3)/2*D3”求出第一小梯形的面積，然后用填充柄向下填充求出其他小梯形面積。 在最后一行，用求和函數(shù)“=SUM(I3:I12)”求出I 列中各小梯形面積之和，即為用梯形法計(jì)算出來的曲邊梯形面積的近似值。

拋物線法計(jì)算在K 列進(jìn)行，計(jì)算依據(jù)是公式（6）。 計(jì)算前應(yīng)確定J列的ki，根據(jù)公式（6），k0＝1，kn＝1，其它的以4 和2 交替出現(xiàn)，可以用填充柄以4、2 向下填充實(shí)現(xiàn)。 然后選擇K2，輸入公式“=J2*C2*(1-0)/3/A$12”，計(jì)算出k0·f（x0）*（b－a）/3/n，然后用填充柄向下填充至K12，求得其它各值。 再在最后一行，用公式“=SUM(K2:K12)”求出K 列中各數(shù)據(jù)之和，即為用拋物線法計(jì)算出來的曲邊梯形面積近似值。

2 Excel 計(jì)算曲邊梯形面積的誤差估計(jì)

這里先介紹梯形法和拋物線法的誤差估計(jì)方法，只考慮區(qū)間[a，b]均分的情況。

公式中涉及到f（x）的一到四階導(dǎo)數(shù)。 對(duì)于梯形法，必須f″（x）存在，并且能估計(jì)出界值M，誤差Rt才能正確求出。 對(duì)于拋物線法，必須f（4）（x）存在，并且能估計(jì)出界值M，誤差Rs才能正確求出。

對(duì)于上述的例子，可求得梯形法M 為2，拋物線法M 為12。 當(dāng)取n=10，Rt≤（1－0）3·2/12/100=0.00167， 于是有0.744544129

用矩形法、梯形法和拋物線法求曲邊梯形面積近似值時(shí)，一般來說，n 取得越大，近似程度就越好。 在Excel 環(huán)境下，我們使用填充柄的智能作用，可以很方便地用增加n 的方法來求取更精確的結(jié)果。 對(duì)于上例，當(dāng)取n=10，用梯形法和拋物線法得出的結(jié)果分別是0.74621和0.74682，如圖1 所示；當(dāng)取n=100，Δx 短小到圖1 的1/10，求得結(jié)果是0.746818 和0.746824；當(dāng)取n=1000，Δx 短小到圖1 的1/100，結(jié)果分別是0.74682407149 和0.746824132812436；當(dāng)n=10000，Δx 短小到圖1 的1/1000，結(jié)果是0.74682413219 和0.746824132812428。此例n 由1000 增加到10000 時(shí)，用拋物線法計(jì)算有13 位小數(shù)相同，說明精度已達(dá)到了10-13；而梯形法只有6 位小數(shù)相同，前6 位小數(shù)應(yīng)該是可靠的。

表1 血藥濃度數(shù)據(jù)

矩形法精度相對(duì)較差，但矩形法1 和矩形法2 的平均值或矩形法3 和矩形法4 的平均值就是梯形法的值。 當(dāng)f（x）在每個(gè)小區(qū)間都是單調(diào)增加或單調(diào)減少的非負(fù)函數(shù)時(shí)， 矩形法3 產(chǎn)生的誤差永遠(yuǎn)是負(fù)偏差，而矩形法4 產(chǎn)生的誤差永遠(yuǎn)是正偏差。 這在那些要求計(jì)算不能產(chǎn)生負(fù)偏差或正偏差的場(chǎng)合用矩形法3 和矩形法4 將是合理的選擇。對(duì)于小區(qū)間非均分的梯形法求解，誤差可分段估計(jì)然后再予綜合考慮。

3 Excel 計(jì)算曲邊梯形面積的應(yīng)用舉例

曲邊梯形面積計(jì)算在多個(gè)領(lǐng)域都有應(yīng)用，這里僅舉醫(yī)藥領(lǐng)域生物利用度中應(yīng)用的例子。

【例】一組健康受試者單劑量，空腹口服某藥溶液劑1g，服藥前采空白血作對(duì)照，2 小時(shí)后進(jìn)餐，每隔一定時(shí)間采血樣，測(cè)定血中藥物濃度，結(jié)果見表1，求該藥溶液劑的AUC0-6。

圖2

分析：此題求AUC0-6就是求曲邊為血藥濃度曲線，積分下、上限為0 與6 的曲邊梯形面積，可用梯形法或拋物線法中的任意一種方法計(jì)算。 這里將兩種方法計(jì)算的過程及結(jié)果同時(shí)給出。

方法：確定n=12，在B 列和C 列輸入表1 中數(shù)據(jù)，在D 列和F 列確定Δt 和k， 然后分別按梯形法和拋物線法計(jì)算出該曲邊梯形面積的近似值即是AUC0-6的近似值。計(jì)算結(jié)果詳見圖2 所示。從圖中可以看出，用梯形法算得AUC0-6=12.28，用拋物線法算得AUC0-6=12.27，比較接近。

4 結(jié)束語

Excel 計(jì)算曲邊梯形面積近似值概念清晰，方法簡單明了，操作容易掌握，誤差可控。 Excel 的突出優(yōu)點(diǎn)是可以把小區(qū)間分得很細(xì)，大量的計(jì)算由填充柄填充得到， 人們輕輕松松就可將很復(fù)雜的計(jì)算完成，突破了圖解法和計(jì)算機(jī)編程計(jì)算的局限性， 是定積近似理論與Excel智能方法的完美結(jié)合，可廣泛應(yīng)用于理論分析、科學(xué)研究、工程計(jì)算和生產(chǎn)實(shí)踐中。

［1］華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論(第一卷，第一分冊(cè))[M].北京:科學(xué)出版社,1963:291-336.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室,主編.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)，第四版)[M].北京:高等教育出版社,1996:306-314.

［3］康博創(chuàng)作室.Office 2000 中文版易學(xué)易用專輯[M].北京:人民郵電出版社,1999:149-169.

［4］Excel Home.Excel 應(yīng)用大全[M].北京:人民郵電出版社,2008.

［5］Excel Home.Excel 2010 應(yīng)用大全[M].北京:人民郵電出版社,2011.

［6］歐陽和平,陽暉.VS 環(huán)境下假設(shè)檢驗(yàn)Web 應(yīng)用程序開發(fā)[J].計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化,2012(10):187-190,193.