基于逆算符方法的諧波注入式SPWM技術(shù)

鄭春芳 張 波 丘東元 余向民

（1.廣東機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 廣州 510515 2.華南理工大學(xué)電力學(xué)院 廣州 510640）

1 引言

SPWM控制技術(shù)[1]是逆變器研究和應(yīng)用領(lǐng)域的核心技術(shù)之一，從最初采用模擬電路產(chǎn)生 PWM信號到目前的全數(shù)字化方案，各種不同的SPWM技術(shù)相繼出現(xiàn)[1-5]。由于描述自然采樣 SPWM 的數(shù)學(xué)模型是超越方程，采用常規(guī)的數(shù)值解法求解起來要花費較多時間，因此自然采樣法的數(shù)學(xué)模型一直被認為不適合用于實時控制。文獻[6]介紹了逆算符方法對自然采樣SPWM的適用性，用逆算符方法推導(dǎo)出了單極性和雙極性自然采樣 SPWM 開關(guān)點的解析表達式，并根據(jù)計算精度要求得到開關(guān)點的近似解析解，從而為自然采樣SPWM技術(shù)的實時應(yīng)用提供理論依據(jù)。

當逆變器用于交流電機驅(qū)動時，為彌補SPWM技術(shù)電壓利用率只有 0.866的不足，人們提出了諧波注入式SPWM技術(shù)[7-14]，即人為地在各相調(diào)制基準正弦波中摻入一定分量3的整數(shù)倍次諧波，以提高電壓利用率。由于描述諧波注入式SPWM的數(shù)學(xué)模型仍是超越方程，常規(guī)數(shù)值解法耗時較多，不利于實時控制。基于文獻[6]的理論，本文嘗試采用逆算符法求取諧波注入式SPWM開關(guān)點解析表達式，并以注入3次諧波的SPWM為例，利用逆算符法求出它們相應(yīng)的解析表達式，探討所得到的3次諧波注入式 SPWM 開關(guān)點解析表達式在實際應(yīng)用中的有效性。

2 逆算符方法

2.1 逆算符方法的基本原理[15]

逆算符方法的基本原理如下。

將待解方程表示為下面逆算符形式

式中，g代表方程的非奇次部分；u為待解的變量；F為逆算符，它又可以表示為

式中，L代表F中線性部分可逆算子，可表示多種數(shù)學(xué)運算，例如u的微分；R是其余線性算子；N為非線性部分。

將式（2）代入式（1），有

式中，φ 滿足Lφ=0，它對應(yīng)于初始或邊界條件。

將u和Nu分別分解為

式中，An（u0，u1，…，un）被稱為Adomian多項式。

則式（4）可寫為

顯然，當n→∞時，φn→u，則φn為u的解析解。

該解析解的收斂性已由Cherruault等人所證明[16,17]。實際運算中，n取3～6項，近似解析解φn就逼近真解。

2.2 φn的求解

由式（6）可知，由初始條件或邊界條件求出u0后，u1，u2，…，便可依次求得。因而，求解φn的一個關(guān)鍵技術(shù)就是如何確定Adomian多項式An。

文獻[17]給出了確定An的具體推導(dǎo)過程以及部分具體的的An表達式，這里僅列出一些具體的Adomian多項式

因此，由式（8）和式（6）即可求出φn。

3 諧波注入式SPWM開關(guān)點的解析式

3.1 3次諧波注入式SPWM開關(guān)點方程

諧波注入式 SPWM 法就是在正弦波調(diào)制波中加入一定比例的零序諧波，即3倍頻諧波的一種調(diào)制方法。它能使得調(diào)制波呈現(xiàn)馬鞍形，以降低調(diào)制波幅值，增大直流電源電壓的利用率，同時又能使逆變器具有良好的諧波抑制特性。

以注入3次諧波為例，假設(shè)注入幅值為x的3次諧波，不失一般性，正弦調(diào)制波的周期為T=2π，初相為零時期望的調(diào)制波函數(shù)可表示為

式中，m為調(diào)制比，即為相電壓基波幅值與載波幅值之比；x為注入的3次諧波系數(shù)。

對式（9）求導(dǎo)并令其為零，可得

對式（11）進行求導(dǎo)可得

求解式（12）得：x1=1/6，x2= -1/3。

顯然負值解不符合條件，代入式（12）時，幅值會大于1，所以x=1/6，此時其所對應(yīng)的調(diào)制比可以達到最大值1.154 7，因此諧波注入式SPWM調(diào)制波為

這里以自然采樣雙極性SPWM如圖1所示為例，則3次諧波注入式SPWM方法中開關(guān)點方程可以分別表示為

式中，k=2N/π；N為載波比，且對于雙極性SPWM，N=2π/Tc；Tc為三角載波的周期；m=Um/Ucm為調(diào)制比；Urm為正弦調(diào)制波峰值，Ucm為三角載波幅值。

圖1 自然采樣雙極性SPWM示意圖Fig.1 The sketch of bipolar NSPWM

3.2 3次諧波注入式SPWM開關(guān)點的逆算符表達式及其解析解

式（14）可表示為逆算符形式

其中求三角載波下降沿與正弦調(diào)制波的交點時a=(4i-4)/k，b= -m/k；求三角載波上升沿與正弦調(diào)制波的交點時a=(4i-2)/k，b=m/k；k=2N/π(i=1,2,…,N)。

因而，參照2.2節(jié)，可得出自然采樣雙極性3次諧波注入式SPWM開關(guān)點解析解為

雖然式（16）的解析解表達式是一個無窮項的迭加，但由于其收斂性驚人的快，因此取其前3～6項就可以作為3次諧波注入式SPWM開關(guān)點的近似解析解[18]。

如取n=1，則3次諧波注入式SPWM的開關(guān)點解析解為

4 解析式實用性分析

4.1 收斂速度和精度

為了驗證用逆算符方法得出的3次諧波注入式SPWM開關(guān)點解析表達式的收斂情況，本節(jié)首先用常規(guī)的牛頓迭代法求解3次諧波注入式SPWM開關(guān)點方程式（15），算法中初始值取式（15）中的a，迭代誤差取小于1e－6（如果希望開關(guān)點的近似值更加接近精確值，可以將迭代誤差取得更小），計算得到開關(guān)點的近似值。然后將用牛頓迭代法得到的開關(guān)點近似值作為開關(guān)點的自然采樣準確值，以便對式（16）取不同項Adomian多項式時開關(guān)點解析解的計算精度及收斂速度作比較。

由于諧波注入式SPWM一般用于三相逆變器,為了避免基波與變頻諧波頻率接近而發(fā)生跳動，并得到較好的三相脈寬調(diào)制波形，N一般取3的奇整數(shù)倍[19]。因而這里取m=1、分別對N=15、21進行計算來說明采用逆算符方法求解諧波注入式 SPWM開關(guān)點的收斂速度。計算中分別取n＝1，2，3項Adomian多項式作為開關(guān)點t的近似解析解，由于在正弦波周期內(nèi)SPWM脈沖對稱，所以只需計算前1/4正弦波的開關(guān)點，計算結(jié)果見附錄中的附表1和附表2。附表1和附表2中還列出了用逆算符方法取不同項 Adomian多項式得到的開關(guān)點相對于自然采樣準確值的絕對誤差（小數(shù)點后都取六位小數(shù)），從表中不難看出，當載波比N固定時，取Adomian多項式的項數(shù)越多，誤差就越小；當計算Adomian多項式的項數(shù)相等時，載波比 N越大，誤差就越小，即隨著 N的增大，只要取較少項Adomian多項式計算得到的開關(guān)點就越接近自然采樣準確值。

4.2 諧波抑制能力

圖2給出了載波比N=15、21下取不同項數(shù)Adomian多項式的SPWM的各次諧波抑制能力曲線。某次諧波抑制能力可以表示為[20]

式中，Vj為第j次諧波幅值；V1為基波幅值。Y越大，表示諧波抑制的效果越好。

根據(jù)逆算符方法計算得到的開關(guān)點，利用傅里葉分析算出各次諧波的幅值（根據(jù)波形的對稱性，這里只考慮除3及3的整數(shù)倍次諧波外的奇數(shù)次諧波），然后再按式（19）計算，從而獲得各次諧波抑制能力。從圖2看出，取Adomian多項式的項數(shù)越多，其諧波抑制能力就越接近自然采樣法。

通過對不同載波比下取不同項Adomian多項式得到的3次諧波注入式SPWM開關(guān)點的精度對比及其各次諧波抑制能力曲線分析表明，只要選取適當項數(shù)的Adomian多項式，采用逆算符方法求得的開關(guān)點就能非常接近于自然采樣開關(guān)點，以符合實際需要。

5 結(jié)論

圖2 N=15、21下取不同項數(shù)Adomian多項式的諧波注入式SPWM的各次諧波抑制能力曲線Fig.2 The ability of eliminating harmonics for HISPWM by choosing different terms of Adomian polynomials at N=15，21

本文采用逆算符方法，推導(dǎo)出3次諧波注入式SPWM開關(guān)點的解析表達式，其表達式由無窮項Adomian多項式表示，可以根據(jù)需要的計算精度要求選擇合適的Adomian多項式項數(shù)來求解3次諧波注入式SPWM的開關(guān)時刻。由不同載波比下3次諧波注入式SPWM開關(guān)點解析解的精度分析實例可知，隨著載波比的增大，只要取較少項Adomian多項式計算得到的開關(guān)點就越接近自然采樣準確值，有利于3次諧波注入式SPWM的數(shù)字化實現(xiàn)。

附 錄

附表1 載波比N=15，m=1下諧波注入式SPWM的開關(guān)點Apptab.1 The switch-points of HISPWM when N=15，m=1

（續(xù)）

附表2 載波比N=21，m=1下諧波注入式SPWM的開關(guān)點Apptab.2 The switch-points of HISPWM when N=21，m=1

[1]Hamman J, Van Der Merwe F S.Voltage harmonics gene-rated by voltage-fed inverters using PWM natural sampling[J].IEEE Transactions on Power Electronics, 1988, 3(3): 297-302.

[2]張艷莉, 費萬民.基于重心重合原則的數(shù)字化多電平SPWM方法[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010, 34(3): 209-302.Zhang Yanli, Fei Wanmin.Digitalized multilevel SPWM method based on cg-superpostition theorem[J].Journal of Nanjing University of Science and Technology(Natural Science), 2010, 34(3): 209-302.

[3]朱良合, 鄒云屏, 唐健.基于線性采樣的SPWM研究與實現(xiàn)[J].電力電子技術(shù), 2010, 44(8): 58-59.Zhu Lianghe, Zou Yunping, Tang Jian.Research and implementation of SPWM based on linear-sampling strategy[J].Power Electronics, 2010, 44(8): 58-59.

[4]陳增祿, 毛惠豐, 周炳根, 等.SPWM數(shù)字化自然采樣法的理論及應(yīng)用研究[J].中國電機工程學(xué)報,2005, 25(1): 32-37.Chen Zenglu, Mao Huifeng, Zhou Binggen, et al.A study on theory and application of digital natural sampling based SPWM[J], Proceedings of the CSEE,2005, 25(1): 32-37.

[5]李扶中, 熊蕊.一種新型的不對稱規(guī)則SPWM采樣法[J].電力電子技術(shù), 2007, 41(4): 93-95.Li Fuzhong, Xiong Rui.A novel sampling mehtod of SPWM with nonsymmetrical rules[J].Power Electronics, 2007, 41(4): 93-95.

[6]鄭春芳, 張波, 丘東元.基于逆算符方法的數(shù)字化自然采樣SPWM技術(shù)[C].中國電源學(xué)會全國電源技術(shù)第17屆年會, 2007: 323-326.

[7]Bowes S R.Regular-sampled harmonic elimination/mini-mization PWM techniques[C].IEEE Applied Power Electronics Conference, 5th Annual, 1990:532-540.

[8]Wen Inne Tsai, York Yih Sun.Design and implementation of three phase HIPWM inverters with instantaneous and average feedback[C].Proceedings of the IEEE Annual Conference of the Industrial Electronics Society, 1993: 800-805.

[9]EI Kassas I A, Hulley L N, Shepherd W.Microprocessor based PWM inverter with third harmonic injection[C].Proceedings of 1995 International Conference on Power Electronics and Drive Systems, 1995, 2: 555-559.

[10]Duran M J, Salas F, Arahal M R.Bifurcation analysis of five-phase induction motor drives with third harmonic injection[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2008, 55(5): 2006-2014.

[11]Arahal M R, Duran M J.PI tuning of five-phase drives with third harmonic injection[J].Control Engineering Practice, 2009, 17(7): 787-797.

[12]李小青, 陳國柱.基于3次諧波無源注入法的諧波抑制技術(shù)[J].電力系統(tǒng)自動化, 2007, 31(14): 61-65.Li Xiaoqing,Chen Guohu.An approach to harmonic suppre-ssion based on triple harmonics injection with passive circuit[J].Automation of Electric Power Systems, 2007, 31(14): 61-65.

[13]謝峰, 關(guān)振宏, 吳楨生, 等.基于3次諧波注入的級聯(lián)多電平逆變器[J].電源技術(shù)應(yīng)用, 2009, 12(02): 7-9.Xie Feng, Guan Zhenhong, Wu Zhensheng, et al.Cascaded multilevel inverter based on three harmonic injection mehtod[J].Power Supply Technologies an Applications, 2009, 12(02): 7-9.

[14]官二勇, 宋平崗, 葉滿園.基于3次諧波注入法的三相四橋臂逆變電源[J].電工技術(shù)學(xué)報, 2005, 20(12): 43-45.Guan Eryong, Song Pinggang, Ye Manyuan.Three-phase inverter with four bridge: legs based on three harmonic injection method[J].Transactions of China Electrothechnical Society, 2005,20(12): 43-45.

[15]Adomian G.Stochastic system[M].New York:Academic Press, 1983.

[16]Cherruault Y.Convergence of adomian’s method [J].Kybernets, 1988, 9(2): 31-38.

[17]Cherruault Y, Adomian G.Decomposition method: a new proof of convergence [J].Mathematical and Computer Modelling, 1993, 18(12):103-106.

[18]Adomian G.Nonlinear stochastic operator equations[M].Academic Press, 1986.

[19]劉鳳君編著.正弦波逆變器[M].北京: 科學(xué)出版社,2002.

[20]鐘福金, 錢昱明, 王曉軍.交流變頻調(diào)速系統(tǒng)的SPWM波形生成方法的諧波分析[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報, 1994(增刊26): 94-98.Zhong Fujin, Qian Yuming, Wang Xiaojun.Harmornic analysis of methods forming SPWM wave in VVVF System[J].Transactions of NanJing University of Aeronautics, 1994,(sup26): 94-98.