基于分數階PI速度控制器的永磁同步電動機控制

王瑞萍 皮佑國

（1.廣州民航職業技術學院 廣州 510403 2.華南理工大學自動化科學與工程學院 廣州 510641）

1 引言

PID控制作為線性最佳控制在工業過程控制中得到了廣泛的應用。PID控制器依據對象模型進行設計，方法規范成熟，簡單實用，是該控制律得以廣泛應用的根本原因。然而，控制對象的現有模型往往是忽略許多時變、非線性等因素而簡化得到的。對于高性能的控制系統，上述簡化忽略的因素將直接影響系統的性能。為了實現系統的高性能控制，人們一般從建立更加貼近實際對象的模型和改變控制器的適應性兩個方向進行研究[1-7]。

有學者將分數階微積分學引入控制系統，認為“實際系統通常大都是分數階的”[2]，但是對于分數階建模，除有分數階電容器的模型外[3]，尚未取得重大突破。在控制方面，越來越多的研究者關注分數階微積分理論[4,5]和它在自動控制領域的應用[6-8]，想通過采用分數階控制器來達到提高系統控制性能的目的[7,8]。近年來，有學者利用分數階的相關特性，采用分數階控制器控制整數階對象，取得了一系列的研究成果。1993年，Oustaloup提出了 CRONE控制器[9]，1994年 Dorcak提出了 PDμ控制器[10]，1999年I.Podlubny將傳統的整數階PD控制器推廣到了分數階情形，提出了分數階PIλDμ控制器[11]。其中積分與微分的階次是實數，并得出 PIλDμ控制器性能優于傳統PID控制器、且對參數變化的敏感性較小的結論。之后許多學者在分數階 PIλDμ控制器的參數整定方面作了相關研究，如：Monje等提出了一種PIλDμ控制器的參數整定方法[12]，使系統具有“隔離阻尼”（iso-damping）特性，且有較好的干擾抑制作用，并將所提方法應用于液位系統；Zhao CN等針對一類分數階系統給出了一種根據增益裕量和相位裕量進行分數階 PIλDμ參數設計的方法[13]等。

本文以三相交流永磁同步電動機作為控制對象，研究分數階比例積分（FO-PI）速度控制策略。將電流環校正后的對象作為等效對象，專注分數階比例積分（FO-PI）速度控制，研究該系統的速度跟隨性能。為了公平地評價分數階控制器的控制性能，與按照最佳設計的整數階比例積分（IO-PI）控制器的速度系統的跟隨性能進行比較。

本文的主要貢獻在于：①首次將分數階速度控制器應用到三相交流永磁同步電動機控制系統中；②在Matlab/Simulink環境下進行仿真，研究FO-PI控制器在階躍速度給定下的速度跟隨性能以及達到的相關性能指標，并與按照最佳設計的 IO-PI控制器的速度跟隨性能進行比較；③用自制驅動進行實驗，得到FO-PI控制器在階躍速度給定下的速度跟隨性能以及達到的相關性能指標，并與按照最佳設計的IO-PI控制器跟隨性能進行比較。

2 控制對象、控制器和設計準則

2.1 控制對象

本文采用的交流永磁同步電動機的參數如下：相電樞電阻為 R=0.29Ω，轉矩常數 K=1.83N·m/A(rms)，電氣性時間常數 t=19ms，轉動慣量J=0.003 41kg·m2。采用矢量控制策略，令id=0后，轉速-轉矩控制為一典型的電流、轉速雙閉環控制。電流環采用PI調節器，參數整定后，得到電流閉環等效的慣性環節的時間常數為T=0.001 12s。進而得到控制對象的等效模型為

由于式（1）中的系統增益k可以轉移到控制器的Kp中去，而不影響整個控制系統的系統增益，所以，不失一般性，將對象（1）中的系統增益規范化為1。

2.2 分數階控制器與整數階控制器

為了進行比較，分數階和整數階控制器都采用PI控制器。分數階比例積分控制器具有如下形式

顯然，這是通用的包含積分階次λ 和微分階次的μ 的分數階 PIλDμ控制的一種特殊形式（μ=0）。整數階PI控制器具有如下形式

式中，Kp1和Ki1分別為比例和積分增益。

2.3 設計準則

假定截止頻率ωc和相位裕度φm已知。為了滿足系統穩定性和魯棒性的要求，由截止頻率和相位裕度的基本定理得到如下三個關于開環傳遞函數Gk(s)的相位和幅值的準則[14]：

（1）相位裕度準則

（2）系統增益變化的魯棒性準則

在給定截止頻率處，相位的導數為零。也就是說，相位 Bode圖在對應截止頻率處是平的。即系統對開環增益變化的魯棒性好以及對于階躍響應的超調量應幾乎不變。

（3）幅值準則

3 FO-PI和IO-PI控制器的設計

由式（1）知，控制對象的幅值和相位的頻率為

3.1 分數階控制器的設計

FO-PI控制器可寫為

其幅值和相位的頻率表示為

由式（7）和式（10），根據相位裕度準則，Gk(s)的相位可以表示為

由式（13）可得Ki和λ 之間的關系為

由式（15）可建立關于Ki和λ 之間的另一關系式為

顯然，由式（14）、式（16）和式（18）三個方程，可以得到三個參數Ki、λ 和Kp的解。

3.2 設計步驟

根據式（14）和式（16），采用作圖的方法來求解Ki和λ 。具體步驟如下

（1）給定系統截止頻率ωc=200rad/s。

（2）給定期望的相位裕度φm=45°。

（3）根據式（14）、式（16）畫出 Ki關于λ 的曲線，如圖1所示。

（4）通過曲線交點得到Ki和λ 的圖解值。

（5）根據式（18）計算Kp。

圖1 Ki與λ 的關系曲線Fig.1 Ki versus λ

通過圖1可以得到，λ=0.69，Ki=41.926 2。代入式（18）計算得 Kp=114.797 4。由設計出的分數階FO-PI控制器畫出系統Bode圖如圖2所示。可以看到，系統的截止頻率和相位裕度都滿足設計要求；在截止頻率處，Bode圖中相位曲線是平的；并且滿足提出的三個準則的要求。

3.3 IO-PI控制器的設計方法

針對式（1）中描述的運動控制系統，設計如式（3）中描述的IO-PI控制器，可得其頻率響應為

圖2 采用FO-PI控制器的Bode圖Fig.2 Bode diagram with FO-PI controller

通過相位裕度準則，G1k(j)ω的相位表示為

由魯棒性準則得到

將Kil代入可知，等式不成立。這就意味著設計的 IO-PI控制器不能同時滿足相位裕度準則和魯棒性準則。

為了和傳統的整數階控制器進行比較，根據2.1節給出的電動機的參數且在滿足速度超調量σ≤5%的條件下，本文采用工程設計的方法來設計雙閉環系統的速度控制器的參數[15]，得到Kpl=2.3，Kil=33。

4 仿真研究

對于分數階 PIλ分數階算子 sλ采用 Oustaloup 遞推濾波器近似[16]。假設需要逼近的頻段為 （ωb, ωh），將 sλ視為一個連續的濾波器，則，用 Oustaloup算法近似的傳遞函數為

在仿真實驗中，為實現分數階算子sλ的近似，將頻率范圍選擇為從0.000 1Hz到10 000Hz。在T,ωc, τ 和φm一定的情況下，分數階 PIλ控制器的參數由3.2節得到。

PMSM 控制系統結構如圖 3所示，主要包括PMSM、空間電壓脈寬調制（SVPWM）、電流調節器（ACR）和速度調節器（IOC/FOC）等。

圖3 PMSM控制系統結構圖Fig.3 Block diagram of PMSM servo control system

在Matlab/Simulink環境下，按照實際的永磁同步電機模型建模與仿真，采用相同的電流內環，用階躍信號作為輸入，其放大的曲線如圖4所示。

圖4 階躍響應曲線Fig.4 Step responses

為了更加直觀地比較整數階控制器和分數階控制器的跟隨性能，表1列出了其主要性能指標：上升時間 tr、超調量δ 和調節時間 ts（±2%穩態值）。可見，采用分數階控制器的系統動態跟隨性能優于采用整數階PI控制器的系統。

表1 跟隨性能指標Tab.1 Tracking performance index

圖5為用正弦波和三角波作為輸入信號的系統速度輸出響應和跟隨誤差。由圖5可見，用正弦波和三角波作為輸入信號時，采用分數階控制器的系統跟隨性能優于采用整數階PI控制器的系統。

圖5 采用FO-PI和IO-PI控制器的跟隨響應和誤差曲線Fig.5 Tracking responses and error signals with FO-PI and IO-PI controllers

5 原型實驗研究

實驗方案如圖6所示，控制對象為日本三洋公司的永磁同步電動機。伺服驅動裝置為實驗室自制，其中同步電動機采用SVPWM控制策略，控制器采用DSP2812芯片。實驗用Ti Code Composer Studio（CCS）軟件在PC上執行。

圖6 實驗裝置Fig.6 Experiment plant of PMSM servo drive

根據3.2節得到的Kp是包含控制器和控制對象兩部分的比例增益，實驗中經過計算取 Kp=0.23。參考文獻[17]得到分數階 PIλ控制器的一種數字實現算法。將分數階PI控制器算法及其參數和整數階PI控制器算法及其參數在驅動裝置的DSP中編程，實現速度控制器。電流環采用PI控制，其參數經過一定調試后在整個實驗過程中保持不變。

實驗中電動機轉速采用標幺值（pu值），即將速度的實際值除以其同單位的基值。本實驗中pu=1，表示轉速為2000r/min。

試驗中，首先研究在階躍信號作用下的系統跟隨性能，響應曲線圖如圖7所示，采用±2%作為穩態誤差限，可得跟隨性能指標見表2。

圖7 階躍響應曲線Fig.7 Step responses

表2 跟隨性能指標Tab.2 Tracking performance index

圖8a、8b為在實驗中采集到的采用整數階速度調節器的系統三角波速度給定及其輸出響應波形和采用分數階速度調節器的系統三角波速度給定及其輸出響應波形。為了能直觀地比較整數階控制器和分數階控制器的跟隨性能，用CCS軟件采集數據，然后通過 Matlab軟件將采集到的數據顯示在同一個圖形中，如圖9所示。其中9a、9b、9c分別為采用三角波、梯形波和正弦波輸入時的速度響應及其對應的誤差曲線。

圖8 跟隨性能實驗結果Fig.8 Tracking performance experiment results

圖9 采用FO-PI和IO-PI控制器的跟隨響應和誤差曲線Fig.9 Tracking responses and error signals with FO-PI and IO-PI controllers

從表2和圖7～圖9可以看出，采用分數階速度調節器的運動控制系統的速度響應時間要明顯快于采用整數階速度調節器的運動控制系統。在參考輸入波形的轉折處，采用 IO-PI速度調節器的誤差要遠遠大于采用FO-PI速度調節器的誤差。從誤差曲線可以看出，采用 IO-PI速度調節器的轉速誤差都在50r（9%）左右，而采用FO-PI速度調節器的最大誤差在 15r（2%）左右。就響應速度和跟隨性能來看，仿真和實驗結果都表明分數階速度調節器的系統動態跟隨性能要優于采用整數階速度調節器的系統。

6 結論

本文研究交流永磁同步電動機的分數階速度控制，在同等實驗條件下，分別采用階躍輸入、三角波輸入和正弦波輸入，對采用FO-PI的速度控制系統與采用 IO-PI的速度控制系統的跟隨性能進行了仿真研究和實驗室原型實驗研究；對于階躍信號輸入的速度響應，以±2%作為穩態誤差限測量系統的上升時間、超調量和過渡過程時間等系統性能指標。理論分析和實驗研究都表明：FO-PI速度控制器比IO-PI速度控制器具有更快的響應速度和更好的跟隨性能，適合于更高跟隨性能要求的速度控制系統中作為速度控制器。

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