在大學數學教學中引入說課思想

吳茂念

（貴州大學理學院，貴州貴陽550025）

一、說課與大學教育

說課[1－3]，作為一種中小學教學、教研改革的手段，能夠有效調動中小學教師投身教學改革，學習教育理論，鉆研課堂教學的積極性，是提高中小學教師素質，培養造就研究型、學者型青年中小學教師的重要途徑之一。更確切地說，說課是介于備課和上課之間的一種教學研究活動，對于備課是一種深化和檢驗，能使備課理性化，對于講課是一種更為嚴密的科學準備。所以，說課是中小學教師在備課的基礎上，面對同行、專家，系統而概括地解說自己對具體課程的理解，闡述自己的教學觀點，表述自己具體執教某課題的教學設想、方法、策略以及組織教學的理論依據等，然后由大家進行評說。怎樣將說課的精髓應用到大學數學的教學之中是一個值得研究的課題。

大學教學活動總結起來有如下的重要特點[4－5]：一是大學學習的對象是一群自學能力強的高素質學生，經過小學中學的學習，大學生已經初步具有一定的自學能力，在教師適當的輔助下，可以將整個學習內容分出相對較容易自學的一部分內容來鍛煉學生的自學能力。二是大學學習的方式是以老師教學為輔，學生自己學習為主的一種教學模式。在擴招之前，由于教師和教室等都較為寬裕，大學一般是早上上課，下午自學，晚上不時有老師來教室輔導，現在由于各種條件限制，已經是全天上課了，不過大學生的學習方式并沒有改變，仍然是教師為輔，自學為主。三是大學教育的目的是培養學生自主學習的能力，使得學生在今后的工作中可以快速地獲得所需的新知識和新技能，培養和形成終身學習的理念。

二、大學教學中的說課方案

中學教研活動中的說課是教師備課過程中的重要環節，同樣可以適用于大學教師，大學教師不僅要具有較強的科研能力，同時還必須具有良好的教學能力，以培養卓越的社會需求的高級人才。在本文中，作者將重點結合上述中學教研活動中說課的思想精髓和大學教學活動的特點，將說課的思想精髓應用到大學的教學活動中。作者認為具體的做法如下：（1）在第一次上課時用大約一節課的時間，從一個學生常見的例子出發來展示本課程重要的知識點，同時明確本門課程的特點、主要方法以及對今后學習的影響等。（2）每章第一次教學時用大約30分鐘的時間給學生講清楚本章的思路來源，然后講解本章內容的思想歷程，使得學生學習起來思路清晰，具體細節可以在今后的教學中講解。（3）每次上課都用5分鐘的時間給學生講解本次課程內容的教學思路。（4）每次課、每章、每學期教學任務完成后，再次給學生講解本節課、本章、本書的教學思路，這樣就更有利于學生的學習和對重點的掌握。現以數學系基礎課高等代數[6－7]為例來闡述上述觀點。

三、教學實例

高等代數是數學系一年級學生的一門重要基礎課。高等代數的教學內容比中學數學更加抽象化和公理化，從整體上研究符號及符號運算的性質，研究所討論對象的代數結構。抽象的概念和眾多的符號，嚴密的邏輯推理是其特點。正是這樣的抽象和公理化，使得高等代數成為數學專業和其它專業學習者進一步學習所必需的基礎理論和基本工具，并對學生思維能力的提高，學生基礎知識、基本理論、基本技能的訓練及培養起著重要的作用。通過本課程的學習，使學生系統學習高等代數的基礎知識和基本理論，認識和理解代數學的最基本的思想和方法，使其抽象思維能力和邏輯推理能力得到系統的訓練和提高，培養學生的數學素養，為后繼課程的學習打下堅實的基礎。

根據這門課程的性質，在第一次上課時，作者首先用一個交通環路中的車流量問題作為例子[8]，建立線性方程組，然后利用初等解法獲得一個任意解的形式，再經過簡單的分解即可獲得第三章中基礎解系的形式，最后對利用基礎解系表示任意解中的任意數k作一個解釋。這樣不但有利于激發學生學習本課程的興趣，而且能將這個建模的思想融入本課程的教學中，也為今后的數學建模競賽和工作中解決實際問題打下基礎。接著向學生說明本課程的兩大特點——公理化和抽象性，并舉例加以說明，如第六章的線性空間就突出表現了公理化和抽象性。

下面作者以第九章的第一次教學為例來展示每章教學的過程。首先將利用N→Z→Q→R→R2與集合S→線性空間V這兩條主線的終點R2同構于2維線性空間V，意味著它們僅僅是名字不同，其實質可以看成為同一個空間。由于R2是學生們十分熟悉的內容（前一學期已經學習了空間解析幾何），學生們都知道R2中單個向量可以求長度和兩個向量具有夾角等性質。對應于R2，自然產生一個問題：線性空間中怎么才具有單個向量可以求長度和兩個向量具有夾角等性質？由此，我們模擬已經非常熟悉的二維實向量空間R2。首先定義內積（實二次函數），從而將線性空間配上這個內積就是歐幾里得空間。在這個內積的基礎上定義了長度（以及單位向量）、夾角和向量正交（或垂直）概念，同時為了簡便計算在一組基下的任意兩個向量的內積（它的形式類似于二次型f（x1，x2，…，xn）），我們還需引進度量矩陣，不難證明它是正定矩陣。如果一組基還兩兩正交，我們稱它是正交基，如果它們還都是單位向量，那么稱為標準正交基。首先同學們會問是不是任意的歐幾里得空間都有標準正交基？教師回答今后證明是存在的（利用思密特正交化方法和單位化），其次又產生一個問題，標準正交基之間的過渡矩陣是什么？滿足什么樣的性質？經過不難的計算就可以知道，這個過渡矩陣應該是一個正交矩陣（它的逆等于它的對稱矩陣）。由于線性空間上的線性變換總是對應于一個矩陣，那么自然我們想知道什么樣的變化對應于正交矩陣？我們將這樣的線性變換稱為正交變換，它具有任意兩個向量在正交變換下的內積保持不變或者任意向量在正交變換下的長度保持不變。由于兩個向量的內積很類似二次型，將對實對稱矩陣的對角化進行加強（將二次型要求的可逆線性替換加強為正交線性替換）。有了內積和長度定義，我們就可以考慮一個點到一個面（空間）的最小距離，從而獲得最小二乘法，它與數學分析獲得的最小二乘法具有相同的思想。除此之外，同樣類似于線性空間，還將討論子空間（特別是正交補），歐幾里得空間的同構等內容。

每次下課之前留5分鐘左右的時間復習一下這節課講授的思路和內容，使得學生對學習的知識有一個總結。每章結束后再用2次課（4節，每節50分鐘）進行復習，按照該章第一次課的思路逐步展開，在理清思路的同時，強調重點知識，難點知識，然后舉例幫助學生掌握本章教學的內容和方法等。這樣不僅能使學生掌握學習的內容，而且能使學生在今后的自學過程中掌握學習的重點，達到事半功倍的效果。

四、總結

從作者前后兩次（00－02，09－11）4 個學年在貴州大學數學系的教學效果來看，這種教學方法充分發揮了學生的主觀能動性，使學生輕松掌握了學習內容，取得了不錯的成績。同時學生的自主學習能力增強，為學生在今后工作中通過自主學習獲取新知識打下了基礎。根據學生的特點（聰明、但對問題的思考不深入等）和學生學習情況的反饋（作業就是最好的反饋），作者將繼續探討如何進一步將中學教研活動中說課的思想融入到高等代數的教學活動中，使之符合各種數學基礎的學生。同時讓學生學習輕松，掌握知識牢固，最終形成良好的自學習慣。

總之，將中學教研活動中的說課精髓應用到大學課程的教學，可以使教師的教學思路清晰，同時還能增強學生的主觀能動性，最終帶來良好的教學效果。

[1]方賢忠.如何說課[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

[2]趙國忠.說課最需要什么[M].南京：南京大學出版社，2009.

[3]鄭金洲.說課的變革[M].北京：教育科學出版社，2007.

[4]傅樹京.高等教育學[M].北京：首都師范大學出版社，2007.

[5]戚萬學.高等教育學[M].濟南：山東大學出版社，2008.

[6]北京大學數學系.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]張禾瑞.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007.

[8]郝志峰.線性代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.